Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 26)

88. Hệ phương trình là gì?

Khi hai hoặc nhiều phương trình được thỏa mãn bởi những giá trị giống nhau của những đại lượng chưa biết, thì chúng được gọi là hệ phương trình.

Một ví dụ của hệ phương trình gồm hai biến, x và y, là

3x + 4y = 18,

5x + 7y = 31.

89. Chúng được giải như thế nào?

Người ta giải những phương trình như thế ở nhà trường trước tiên bằng cách loại trừ x hoặc y.

Ở đây có thể loại trừ y bằng cách nhân phương trình thứ nhất với 7, và phương trình thứ hai với 4, sau đó trừ nhau. Như vậy,

7 nhân vào phương trình I cho ta: 21x + 28y = 126,

4 nhân vào phương trình II cho ta: 20x + 28y = 124.

Trừ nhau cho ta x = 2.

Thay giá trị của x vào một trong hai phương trình đã cho, ví dụ thay vào phương trình thứ nhất, ta được

6 + 4y = 18,

hay 4y = 12, hay y = 3.

90. Hệ phương trình chứa ba biến được giải như thế nào?

Phương pháp giải hệ phát triển chứa nhiều hơn hai biến là tương tự như trên.

Ví dụ,    x + y + 3z = 12,

                2x + 3y + 4z = 20,

                3x + 2y + 5z = 22,

Trước tiên loại z ra khỏi hai phương trình đầu, sau đó loại ra khỏi hai phương trình cuối. Làm như vậy mang lại cho ta hai phương trình chỉ chứa hai biến, x và y. Hai phương trình này có thể được giải bình thường.

Như vậy,

4 nhân vào phương trình I cho ta:             4x + 4y + 12z = 48,

3 nhân vào phương trình II cho ta:            6x + 9y + 12z = 60,

Trừ hai phương trình:                                     - 2x –5y = - 12

                Hay                                                        2x + 5y = 12                        (A)

Làm lại lần nữa,

5 nhân vào phương trình II cho ta:            10x + 15y + 20z = 100,

4 nhân vào phương trình III cho ta:          12x + 8y + 20z = 88,

Trừ hai phương trình:                                     - 2x + 7y = 12,

                Hay                                                        2x - 7y = - 12.                      (B)

Giải hệ gồm (A) và (B) như bình thường, ta được x = 1, y = 2.

Thay giá trị của x và y vào phương trình thứ nhất, ta được z = 3.

Như vậy, ta có x = 1, y = 2, z = 3.

91. Phương trình vô định nghĩa là gì?

Nếu số lượng biến nhiều hơn số lượng phương trình, thì người ta nói các phương trình đó là vô định.

Những phương trình như thế có vô số nghiệm.

Ví dụ, xét phương trình 3x + y = 10.

Nó có thể được viết là y = 10 – 3x.

Ở đây, tương ứng với một giá trị bất kì của x, y có một giá trị.

Như vậy, phương trình trên có vô số nghiệm.

Nhưng nếu phương trình trên chỉ được giải theo nghiệm nguyên dương, thì số lượng nghiệm là hữu hạn.

92. Làm thế nào giải tìm nghiệm nguyên dương cho phương trình: 3x + y = 10?

Phương trình đã cho có thể viết là y = 10 – 3x.

Vì y phải là một số nguyên dương, nên x chỉ có thể nhận các giá trị 0, 1, 2 hoặc 3. Nếu x được gán một giá trị lớn hơn 3 thì y trở thành âm.

Vì thế, sau đây là các nghiệm dương của phương trình đã cho:

                x = 0, y = 10;

                x = 1, y = 7;

                x = 2, y = 4;

                x = 3, y = 1.

93. Phương trình Diophantine là gì?

Các phương trình vô định còn được gọi là phương trình Diophantine để tôn vinh nhà toán học người Hi Lạp cổ đại Diophantus, người đầu tiên trình bày có hệ thống về những phương trình như thế, và đã thể hiện kĩ năng xuất sắc khi giải chúng.

94. Cái gì làm phát sinh những phương trình như thế và chúng được giải quyết như thế nào?

Những bài toán thuộc loại sau đây dẫn tới các phương trình vô định.

Bài toán: Một người chi ra 414 rupee để mua bút mực và bút chì. Nếu mỗi cái bút mực giá 13 rupee và mỗi bút chì giá 11 rupee, thì anh ta sẽ mua mỗi loại bao nhiêu cái?

Gọi x là số lượng bút mực, và y là số lượng bút chì, thì

13x + 11y = 414,                                (1)

trong đó x và y là các số nguyên dương.

Sau đây là phương pháp giải:

Chia phương trình cho 11, hệ số nhỏ nhất trong hai hệ số, khi đó

Bây giờ ta nhân (2x – 7) với một số nguyên sao cho hệ số của x sai khác một đơn vị với 11 hoặc bội của 11.

Một số nguyên như vậy trong trường hợp này là 6.

(Cần sử dụng một thủ thuật tương tự trước khi đưa vào một kí hiệu cho số nguyên đó.)

Nhân (2x – 7) với 6, ta có

Do đó, x = 11p + 9                                            (2)

Thay giá trị này của x vào (1):

y = 27 – 13p                                                        (3)

Từ (3) ta thấy nếu p lớn hơn 2, thì y trở thành âm. Các giá trị nguyên dương của x và y, do đó, chỉ có thể thu được bằng cách đặt p = 0, 1 và 2.

Như vậy, nghiệm đầy đủ được cho bởi

                p = 0,     x = 9,     y = 27;

                p = 1,     x = 20,   y = 14;

                p = 2,     x = 31,   y = 1.

95. Bài toán cây tre gãy của Bhaskar là gì?

Bhaskaracharya, nhà toán học danh tiếng người Hindu đã đưa ra bài toán này trong tác phẩm nổi tiếng của ông, Lilavati.

Nó có dạng như sau: Nếu một cây tre cao 32 cubit bị gió làm gãy sao cho ngọn tre chạm đất cách gốc tre 16 cubit, thì chỗ bị gãy cách mặt đất bao nhiêu?

Định lí Pythagoras được sử dụng để giải bài toán này.

Giả sử cây tre AC bị gãy tại chỗ có độ cao x so với đất:

AB = x, BC = 32 – x = BD, AD = 16

Khi đó, theo định lí Pythagoras:

AB2 + AD2 = BD2

Hay        x2 + 162 = (32 – x)2

Hay        x2 + 256 = 1024 – 64 x + x2

Hay        64x = 768,            hay x = 12 cubit.

Cây tre bị gãy tại độ cao 12 cubit so với đất.

(Cubit là một đơn vị đo chiều dài thời xưa, một cubit bằng khoảng 18 đến 22 inch.)

Xác thực:

AB + BC = 12 + 20 = 32

AB2 + AD2 = BD2

122 + 162 = 202

96. Bài toán con công và con rắn của Bhaskar là gì?

Đó là một bài toán khác được Bhaskaracharya trình bày trong quyển sách Lilavati của ông. Nó cũng sử dụng định lí Pythagoras, nhưng nó dẫn tới một phương trình vô định.

Bài toán có dạng như sau:

Một con công đang đậu trên cái cột tại cửa hang của một con rắn. Nhìn thấy con rắn cách cái cột gấp ba lần chiều cao của cột, con công bổ xuống con rắn theo một đường thẳng trước khi nó có thể bò tới miệng hang. Nếu con công và con rắn có quãng đường đi bằng nhau, thì chỗ chúng gặp nhau cách miệng hang bao nhiêu cubit?

Kí hiệu miệng hang của con rắn là A. Gọi AB là cái cột, và con công đậu tại B, và con rắn ở D.

Gọi chỗ chúng gặp nhau là C, cách miệng hang x cubit. Đặt y là chiều cao của cái cột, khi đó

AC = x, AB = y, AD = 3y (đã cho)

và CD = 3y – x = B , Þ BC = CD (đã cho).

Theo định lí Pythagoras,

AB2 + BC2 = AC2

Hay        y2 + x2 = (3y – x)2

Hay        y2 + x2 = 9y2 – 6xy + x2

Hay        8y2 – 6xy = 0

Hay        2y (4y – 3x) = 0

Chia cho 2y, ta được

4y – 3x = 0

Hay        x = (4/3) y

Đây là một phương trình vô định có nhiều nghiệm.

Một vài nghiệm là

                Nếu       y = 3, x = 4;

                Nếu       y = 6, x = 8;

                Nếu       y = 9, x = 12, vân vân.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Tạo bảng điểm online

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Giải đáp nhanh những câu hỏi lớn – Stephen Hawking (Phần 4)
22/10/2018
Câu hỏi lớn trong vũ trụ học hồi đầu thập niên 1960 là vũ trụ đã ra đời như thế nào? Nhiều nhà khoa học vốn phản đối
Vật lí Lượng tử Tốc hành (Phần 20)
22/10/2018
Hiệu ứng Zeeman Khái niệm spin electron nảy sinh thường xuyên trong vật lí lượng tử (ví dụ, trong các phần thảo luận của
Giải đáp nhanh những câu hỏi lớn – Stephen Hawking (Phần 3)
21/10/2018
Chúng tôi trải qua vài ngày sau đó tại Tabriz, trong lúc tôi hồi phục sức khỏe từ chứng kiết lị trầm trọng và do một xương
Giải đáp nhanh những câu hỏi lớn – Stephen Hawking (Phần 2)
21/10/2018
Tôi từng viết về cuộc đời mình trước đây rồi nhưng một phần trải nghiệm của tôi xưa kia đáng để lặp lại khi tôi
Giải đáp nhanh những câu hỏi lớn – Stephen Hawking (Phần 1)
21/10/2018
“Brief Anwers to the Big Questions” là quyển sách cuối cùng của Stephen Hawking. Quyển sách được xuất bản năm 2018, sau khi Hawking
Yuval Noah Harari: Cộng đồng
20/10/2018
CỘNG ĐỒNG Con người có các tổ chức Bang California đã quen với động đất, nhưng những rung chấn chính trị của đợt
Vén màn bí ẩn vũ trụ qua 10 vật thể (Phần 10)
19/10/2018
10. Vũ trụ Nó là cái gì? Mọi thứ Nó ở đâu? Mọi nơi BÍ ẨN: VẠN VẬT HIỆN HỮU RỐT CUỘC LÀ DO ĐÂU? Có nhiều tiến
Vén màn bí ẩn vũ trụ qua 10 vật thể (Phần 9)
19/10/2018
9. Trái Đất Nó là gì? Một thế giới chủ yếu gồm silicate quay xung quanh một sao loại G Nó ở đâu? Ngay dưới chân

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com