Cực trị trong bài toán điện xoay chiều

- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.

- Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải các dạng toán này.

- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU“ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trỉnh học.

- Đề tài gồm bốn phần: khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc w.

- Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.

bài toán cực trị RLC

Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12

NỘI DUNG

I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1. Có hai giá trị R1 ¹ R2 cho cùng một giá trị công suất

2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại.

3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.

1. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị công suất

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.

3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax

4. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.

5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax

III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.

1. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị công suất

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.

3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax

4. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2.

5. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCRrmax

IV. Sự thay đổi  w trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1. Giá trị w làm cho Pmax

2. Khảo sát sự biến thiên công suất theo w.

3. Có hai giá trị w1 ¹ w2 cho cùng công suất và giá trị w làm cho Pmax tính theo w1 và w2

4. Giá trị w làm cho hiệu điện thế ULmax

5. Giá trị w làm cho hiệu điện thế Ucmax


I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : bài toán c?c tr? RLC

bài toán c?c tr? RLCR là một biến trở, các giá trị R0 , L và C không đổi.

Gọi Rtd = R + R0

1. Có hai giá trị R1 ¹ R2 cho cùng một giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ trên mạch là : bài toán c?c tr? RLC

- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi ứng với hai giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có:

bài toán c?c tr? RLC

- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viète (Vi-et):

bài toán c?c tr? RLC

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất

2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại

- Ta có:bài toán c?c tr? RLC

- Đặt bài toán c?c tr? RLC, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A

bài toán c?c tr? RLC

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy: bài toán c?c tr? RLC

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

bài toán c?c tr? RLC

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.

Lưu ý:  Khi bài toán c?c tr? RLCthì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0.

b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

- Công suất của biến trở R là bài toán c?c tr? RLC

- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :

bài toán c?c tr? RLC

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:

bài toán c?c tr? RLC

- Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =”  phải xảy ra, khi đó:

bài toán c?c tr? RLC

- Công suất cực đại của biến trở R là: bài toán c?c tr? RLC

c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.

- Ta có :

bài toán c?c tr? RLC

- Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng Imax khi giá trị của biến trở R = 0.

3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

bài toán c?c tr? RLC

- Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: bài toán c?c tr? RLC

Khi bài toán c?c tr? RLC

Bảng biến thiên :

bài toán c?c tr? RLC

Đồ thị của P theo Rtd :

bài toán c?c tr? RLC

Nhận xét đồ thị :

· Từ đổ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của công suất.

· Công suất đạt giá trị cực đại khi bài toán c?c tr? RLC

· Trong trường hợp bài toán c?c tr? RLC thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0 do đó ta thấy rằng công suất của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.

· Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất của toàn mạch cực đại là bài toán c?c tr? RLC

Kết luận:

· Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy.

· Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.

II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : bài toán c?c tr? RLC

bài toán c?c tr? RLCL là một cuộn dây thuần cảm có giá trị thay đổi

R và C không đổi.

1. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị công suất

- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

bài toán c?c tr? RLC

- Khai triển biểu thức trên ta thu được : bài toán c?c tr? RLC

- Suy ra : bài toán c?c tr? RLC

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL

- Ta có công suất toàn mạch là: bài toán c?c tr? RLC, với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch là một hàm số theo biến số ZL

- Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:

bài toán c?c tr? RLC khi bài toán c?c tr? RLC

-Bảng biến thiên

bài toán c?c tr? RLC

- Đồ thị của công suất theo ZL :

bài toán c?c tr? RLC

Nhận xét đồ thị:

· Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

· Công suất của mạch cực đại khi bài toán c?c tr? RLC, với bài toán c?c tr? RLClà hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất.

Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của ZL sẽ cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZL. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của ZLtrong một số bài toán.

3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax

bài toán c?c tr? RLC

Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :bài toán c?c tr? RLC , trong đó R; ZC và U là các hằng số không đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là ZL. Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng giản đồ Vecto bài toán này có thể giải dể hơn và rút ra nhiều kết luận hơn.

- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có :bài toán c?c tr? RLC

- Vì bài toán c?c tr? RLC, suy ra

bài toán c?c tr? RLC

- Do cosb và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế ULmax khi bài toán c?c tr? RLC

- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:bài toán c?c tr? RLC, từ đó suy ra bài toán c?c tr? RLC

- Tóm lại:

· Khi bài toán c?c tr? RLC thì bài toán c?c tr? RLC

· Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một góc 900.

4. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị UL , giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.

- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:

bài toán c?c tr? RLC

- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:

bài toán c?c tr? RLC

- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì bài toán c?c tr? RLC với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax . Thay vào biểu thức trên:

bài toán c?c tr? RLC

- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:

bài toán c?c tr? RLC

- Vì L1 ¹ L2 nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được: bài toán c?c tr? RLC với giá L là giá trị là cho ULmax

5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax

- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

bài toán c?c tr? RLC

- Đặt bài toán c?c tr? RLC, ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL để tìm giá trị của ZL sao cho MTmin khi đó giá trị của ULrmax . Đạo hàm của MT theo biến số ZL ta thu được :

bài toán c?c tr? RLC

Cho MT’(ZL) = 0 ta có : bài toán c?c tr? RLC. Nghiệm của phương trình bậc hai này là: bài toán c?c tr? RLC. Lập bảng biến thiên ta có:

bài toán c?c tr? RLC

- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất. Ta thu được kết quả sau:

Khi bài toán c?c tr? RLC thì bài toán c?c tr? RLC

III.Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.

bài toán c?c tr? RLCXét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : bài toán c?c tr? RLC

R là  điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi

và C có giá trị thay đổi .

Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở bài toán c?c tr? RLC do đó ta thấy rằng bài toán thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:

1. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị công suất

Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có

bài toán c?c tr? RLC

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng

- Bảng biến thiên:

bài toán c?c tr? RLC

- Đồ thị của công suất theo giá trị ZC :bài toán c?c tr? RLC

3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax

- Khi bài toán c?c tr? RLC thì:

· bài toán c?c tr? RLC và bài toán c?c tr? RLC

· uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch

4. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị UC ,giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2

- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho UCmax khi bài toán c?c tr? RLC

5. Giá trị ZC để hiệu điện thế URCmax

- Khi bài toán c?c tr? RLC thì bài toán c?c tr? RLC ( Với điện trở R và tụ điện mắc gần nhau)

IV. Sự thay đổi  w trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

1. Giá trị w làm cho Pmax

- Ta có bài toán c?c tr? RLC , từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt giá trị cực đại khi: bài toán c?c tr? RLC. Với bài toán c?c tr? RLC

- Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng pha nhau.

2. Có hai giá trị w1 ¹ w2 cho cùng công suất và giá trị w làm cho Pmax tính theo w1 và w2:

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:

bài toán c?c tr? RLC

- Biến đổi biểu thức trên ta thu được : bài toán c?c tr? RLC

- Vì w1 ¹ w2 nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu được :bài toán c?c tr? RLC

- Theo kết quả ta có : bài toán c?c tr? RLCvới w0 là giá trị cộng hưởng điện.

3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo w.

- Ta có bài toán c?c tr? RLC

- Việc khảo sát hàm số P theo biến số w bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận  xét sau:

· Khi w = 0 thì bài toán c?c tr? RLC làm cho P = 0

· Khi bài toán c?c tr? RLC thì mạch cộng hưởng làm cho công suất trên mạch cực đại

· Khi bài toán c?c tr? RLC thì bài toán c?c tr? RLClàm cho P = 0

- Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị :

bài toán c?c tr? RLC

bài toán c?c tr? RLC

-Nhận xét đồ thị:

· Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị w1 ≠ w2 cho cùng một giá trị công suất, điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên.

4. Giá trị w làm cho hiệu điện thế ULmax

- Ta có : bài toán c?c tr? RLC, đặt bài toán c?c tr? RLC

- Biến đổi biểu thức A ta thu được : bài toán c?c tr? RLC

- Ta tiếp tục đặt bài toán c?c tr? RLC khi đó bài toán c?c tr? RLC

- Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được: bài toán c?c tr? RLC

- Cho A’(x) = 0 ta thu được bài toán c?c tr? RLC

- Vì bài toán c?c tr? RLCkhi đó ta thu bảng biến thiên:

bài toán c?c tr? RLC

- Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:

bài toán c?c tr? RLCvà  bài toán c?c tr? RLC

Nhận xét : Khi bài toán c?c tr? RLC thì Amin khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số bài toán c?c tr? RLC nên hàm số có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong miền xác định của x. Khi đó w rất lớn làm cho ZL rất lớn làm cho I = 0. Do đó không thể tìm giá trị w làm cho ULmax

5. Giá trị w làm cho hiệu điện thế Ucmax

- Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị w làm cho UCmax là:

- Khi  bài toán c?c tr? RLC thì bài toán c?c tr? RLC với bài toán c?c tr? RLC

 Lê Tấn Hậu - Thuvienvatly.com

Thư Viện Vật Lý trích đăng từ File Word Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Extension Thuvienvatly.com cho Chrome

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Sinh viên Mĩ giải được bài toán electron 60 năm tuổi
14/12/2017
Trong sáu thập niên qua, các nhà khoa học vẫn hằng tìm kiếm một luồng electron ẩn náu ở gần Trái Đất nhưng chưa hề tìm
10 đột phá vật lí của năm 2017
13/12/2017
Tạp chí Physics World của Anh bình chọn các thành tựu quan trắc đa kênh liên quan đến sóng hấp dẫn là Đột phá của năm
Trump lệnh cho NASA trở lại Mặt Trăng
12/12/2017
Lần cuối các nhà du hành vũ trụ người Mĩ đặt chân lên Mặt Trăng là hồi những năm 1970. Tổng thống Mĩ Donald Trump muốn
Top 10 khám phá thiên văn học (Phần 2)
07/12/2017
6. Sự át trội của vật chất tối Hồi thập niên 1970, Vera Rubin không những đã có một khám phá vũ trụ học đồ sộ, mà trong
Top 10 khám phá thiên văn học (Phần 1)
05/12/2017
Những phát hiện không những làm thay đổi thế giới, mà còn thách thức cách chúng ta nhìn nhận sự tồn tại của mình và vị
Moment từ proton được đo chính xác nhất từ trước đến nay
26/11/2017
Các nhà vật lí ở Đức vừa đo được moment từ của proton đến sai số 0,3 phần tỉ. Giá trị này tốt gấp 11 bậc so với phép
Kiểm tra bản chất lượng tử của lực hấp dẫn
26/11/2017
Bất chấp hàng thập kỉ nỗ lực phấn đấu, một lí thuyết về lực hấp dẫn lượng tử vẫn nằm ngoài tầm với của chúng
Lỗ đen ăn thịt sao và ợ ra tia vũ trụ
26/11/2017
Kịch bản sao lùn trắng bị lỗ đen xé xác có thể giải thích được những cơn mưa tia vũ trụ và neutrino mà chúng ta thấy trên
Vui Lòng Đợi

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com