Vật lí học và Bóng đá

  • Takeshi Asal, Takao Akatsuka, Steve Haake (Physics World, tháng 6/1998)

Bill Shankly, cựu quản lí của câu lạc bộ bóng đá Liverpool, từng nói: “Bóng đá không phải là cuộc sống hay cái chết. Nó còn quan trọng hơn cả thế”. Tháng này tại World Cup ở Nam Phi, hàng triệu người hâm mộ bóng đá sẽ chia sẻ cảm giác tương tự trong vài một vài tuần lễ ngắn ngủi. Rồi sự kiện ấy sẽ đi qua, và tất cả những gì còn lại sẽ là một vài lần nhắc lại trên truyền hình và sự tranh luận không ngớt về cái có thể đã xảy ra. Ở khía cạnh này của bóng đá những người hâm hộ thấy thích, thì những người khác lại không thích. Quả phạt penalty đó có đúng không? Nếu một cầu thủ nào đó không rời sân thì sao? Cục diện mùa giải sẽ thế nào nếu cú sút ấy không bị bật trúng xà ngang mà bay thẳng vào trong lưới?

alt

Roberto Carlos của đội Brazil ghi bàn trong trận đấu với Pháp với cú sút hoàn hảo. (Ảnh: Press Association)

Nhiều người hâm hộ vẫn chưa quên cú sút do cầu thủ người Brazil Roberto Carlos thực hiện trong trận đấu ở Pháp mùa hè năm 1997. Quả bóng nằm cách khung thành đối phương chừng 30 m và hơi dịch sang phải. Carlos đá quả bóng sang phải thoạt đầu xuyên qua cách hàng rào hậu vệ ít nhất 1 m và phớt qua đứa trẻ nhặt bóng, đứng cách khung thành vài mét, đang cúi đầu xuống. Rồi, hầu như thật kì diệu, quả bóng uốn cong sang trái và đi vào góc trên phía bên phải của khung thành – trước sự sửng sốt của các cầu thủ, thủ môn và các phương tiện truyền thông.

Rõ ràng Carlos đã tập luyện cú đá này vô số lần trong các buổi tập. Anh biết bằng trực giác làm thế nào đánh lượn quả bóng bằng cách đá vào nó ở một vận tốc đặc biệt và với một chuyển động xoay đặc biệt. Tuy nhiên, có lẽ anh không biết cơ sở vật lí ẩn sau cú đá ấy.

Khí động lực học của các quả cầu thể thao

Lời giải thích đầu tiên của sự lệch theo phương ngang của một vật đang quay tròn được Rayleigh ghi nhận là công trình do nhà vật lí người Đức Gustav Magnus thực hiện vào năm 1852. Thật ra thì Magnus đã cố gắng xác định nguyên do vì sao các quả đạn pháo và đạn súng đang xoay tròn bị lệch sang một bên, nhưng lời giải thích của ông chỉ áp dụng tốt cho các quả cầu. Thật vậy, cơ chế cơ bản của một quả bóng uốn cong trên sân bóng đá hầu như giống hệt như những môn thể thao khác như bóng rỗ, golf, cricket, và tennis.

alt

Ảnh nhìn từ trên xuống của một quả bóng đá đang xoay tròn xung quanh một trục vuông góc với dòng không khí băng qua nó. Không khí chuyển động nhanh hơn so với phần giữa quả bóng nơi ngoại vi của quả bóng đang chuyển động theo cùng chiều với dòng không khí (trái). Điều này làm giảm áp suất, theo nguyên lí Bernoulli. Áp suất tăng lên ở phía bên kia của quả bóng, nơi không khí chuyển động chậm hơn so với phần giữa của quả bóng (phải). Do đó, có một sự mất cân bằng lực, và quả bóng bị lệch theo cùng chiều như chuyển động quay – từ phía dưới bên phải sang phía trên bên trái. Lực nâng này còn gọi là “lực Magnus”, mang tên nhà vật lí người Đức thế kỉ 19 Gustav Magnus.

Xét một quả bóng đang xoay tròn xung quanh một trục vuông góc với dòng không khí băng qua nó. Không khí chuyển động nhanh hơn so với phần giữa quả bóng nơi ngoại vi của quả bóng đang chuyển động theo cùng chiều với dòng không khí (trái). Điều này làm giảm áp suất, theo nguyên lí Bernoulli. Hiệu ứng ngược lại xảy ra ở phía bên kia của quả bóng, nơi không khí chuyển động chậm hơn so với phần giữa quả bóng. Do đó có sự mất cân bằng lực và quả bỏng bị lệch – hay, như J J Thomson nói hồi năm 1910, “quả bóng đi theo cái mũi của nó”. Sự lệch theo phương ngang này của quả bóng trong chuyển động bay thường được gọi là “hiệu ứng Magnus”.

Các lực tác dụng một quả bóng xoay tròn đang bay trong không khí thường chia làm hai loại: một lực nâng và một lực kéo theo. Lực nâng hướng lên trên hoặc các lực hướng sang bên là nguyên nhân cho hiệu ứng Magnus. Lực kéo theo tác dụng theo hướng ngược lại với đường đi của quả bóng.

Chúng ta hãy tính các lực tác dụng trong một cú sút. Giả sử tốc độ của quả bóng là 25-30 ms-1 (khoảng 70 dặm/giờ) và chuyển động quay là khoảng 8-10 vòng/giây, thì lực nâng thành ra là khoảng 3,5 N. Luật thi đấu quy định rằng một quả bóng đá chuyên nghiệp phải có khối lượng 410-450 g, nghĩa là nó gia tốc khoảng 8 ms-2. Và vì quả bóng trong 1 s bay đi được 30 m trên quỹ đạo của nó, nên lực nâng có thể làm quả bóng lệch đi đến 4 m khỏi đường đi thẳng ban đầu của nó. Thế là đủ để gây rắc rối cho các tay thủ môn rồi!

alt

Hệ số kéo theo của một quả cầu vẽ theo số Reynold – một thông số không chiều liên quan đến cả vận tốc và đường kính của quả cầu. Hệ số kéo theo giảm đột ngột khi dòng không khí tại bề mặt của quả cầu thay đổi từ chảy thành lớp sang chuyển động xoáy. Vị trí của điểm gián đoạn phụ thuộc vào độ gồ ghề của bề mặt quả cầu. Các quả bóng đá thì tương đối nhẵn và vì thế cần phải đá tương đối mạnh để thu đủ tốc độ để chuyển động trong pha xoáy.

Lực kéo theo, FD, tác dụng lên quả bóng tăng theo bình phương của vận tốc, v, giả sử rằng khối lượng riêng, r, của quả bóng và tiết diện của nó, A, vẫn không đổi: FD = CDrAv2/2. Tuy nhiên, dường như “hệ số kéo theo”, CD, cũng phụ thuộc vào vận tốc của quả bóng. Thí dụ, nếu chúng ta vẽ đồ thị hệ số kéo theo theo số Reynold – một thông số không chiều bằng rv D /μ, trong đó D là đường kính của quả cầu và μ là độ nhớt động học của không khí – chúng ta thấy lực kéo theo giảm đột ngột khi dòng không khí tại bề mặt của quả cầu đổi từ phẳng lặng và chảy thành lớp sang chuyển động xoáy.

alt

Khi dòng không khí ở ngoài quả bóng chuyển động xoáy, thì lớp ranh giới dính vào quả bóng gần như cho đến khi không khí đã hoàn toàn đi qua khỏi quả bóng. Điều này mang lại sự phân tách muộn và một lực kéo theo nhỏ.

Khi dòng không khí chảy thành lớp và hệ số kéo theo cao, lớp ranh giới của không khí trên bề mặt của quả bóng “tách khỏi” tương đối sớm khi nó chảy qua quả bóng, tạo ra các xoáy cuộn ở phía sau nó. Tuy nhiên, khi dòng không khí chuyển động xoáy, thì lớp ranh giới bám vào quả bóng lâu hơn. Điều này mang lại sự phân tách muộn và một lực kéo theo nhỏ.

Số Reynold tại đó hệ số kéo theo giảm, do đó, phụ thuộc vào độ gồ ghề bề mặt của quả cầu. Chẳng hạn, các quả bóng golf, có lỗ khoét sâu, có độ gồ ghề bề mặt khá cao và hệ số kéo theo giảm tại một giá trị số Reynold tương đối thấp (~2 × 104). Tuy nhiên, một quả bóng đá thì nhẵn hơn quả bóng golf và sự chuyển tiếp tới hạn đó đạt được ở một giá trị số Reynold cao hơn nhiều (~4 × 105).

alt

Sự biến thiên của lực kéo theo theo tốc độ quả cầu. Ở những tốc độ cao, lực kéo theo giảm, nghĩa là quả cầu không chậm đi nhiều như trông đợi.

Kết quả của tất cả những điều này là một quả bóng đá đang chuyển động chậm chịu một lực hãm tương đối cao. Nhưng nếu bạn có thể đá quả bóng đủ nhanh đến mức dòng không khí phía phía ngoài nó chuyển động xoáy, thì quả bóng chịu một lực hãm nhỏ. Vì thế, một quả bóng đá đang chuyển động nhanh làm tăng gấp đôi sự rắc rối cho tay thủ môn muốn bắt lấy nó – không những là quả bóng đang chuyển động ở tốc độ cao, mà nó còn không chậm lại nhiều như người ta có thể trông đợi. Có lẽ những tay thủ môn cừ khôi nhất bằng trực giác hiểu nhiều cơ sở vật lí hơn cái họ biết.

Năm 1976, Peter Bearman và các đồng nghiệp ở trường Imperial College, London, đã thực hiện một loạt thí nghiệm cổ điển trên các quả bóng golf. Họ nhận thấy việc tăng chuyển động quay trên quả bóng tạo ra một hệ số nâng cao hơn và vì thế lực Magnus lớn hơn. Tuy nhiên, việc tăng tốc độ với một chuyển động quay cho trước làm giảm hệ số nâng. Ý nghĩa mà điều này mang lại đối với một quả bóng đá là một quả bóng đang chuyển động chậm với chuyển động quay nhanh sẽ có lực sang bên lớn hơn so với một quả bóng đang chuyển động nhanh với chuyển động quay bằng như vậy. Cho nên, khi quả bóng chuyển động chậm xuống tới cuối quỹ đạo của nó, thì độ cong [quỹ đạo] trở nên rõ nét hơn.

Trở lại với Roberto Carlos

Tất cả những điều này giải thích như thế nào về cú sút của Roberto Carlos? Mặc dù chúng ta không thể chắc chắn hoàn toàn, nhưng sau đây có lẽ là lời giải thích hợp lí của cái đã diễn ra.

Carlos đã vào quả bóng với má ngoài chân trái của anh để làm cho nó quay tròn ngược chiều kim đồng hồ theo hướng anh nhìn xuống nó. Thời tiết khô ráo, nên lượng chuyển động quay mà anh trao cho quả bóng là cao, có lẽ hơn 10 vòng/giây. Việc đá nó với má ngoài bàn chân cho phép anh đá quả bóng thật mạnh, có lẽ hơn 30 ms-1. Dòng không khí phía ngoài bề mặt quả bóng bị xoáy, gây cho quả bóng một lực kéo theo tương đối thấp. Đi vào quỹ đạo của nó – có lẽ khoảng tại vạch 10 m (hoặc khoảng tại vị trí của hàng rào hậu vệ) – vận tốc của quả bóng giảm nên nó đi vào chế độ chảy thành lớp. Điều này về cơ bản làm tăng lực kéo theo tác dụng lên quả bóng, làm cho nó chậm đi nữa. Sự chậm đi này cho phép lực Magnus hướng sang bên, lực đang bẻ quả bóng về hướng khung thành, tham gia vào hiệu ứng. Giả sử lượng chuyển động quay không bị mất quá nhiều, thì hệ số kéo theo tăng lên. Điều này gây ra lực hướng sang bên còn lớn hơn nữa và làm cho quả bóng bẻ cong hơn nữa. Cuối cùng, khi quả bóng chậm lại, độ cong ấy còn rõ nét hơn (có lẽ do sự tăng hệ số nâng) cho đến khi nó chạm vào lưới khung thành – trước sự hân hoan của các nhà vật lí trong đám đông khán giả.

Nghiên cứu hiện nay về chuyển động của quả bóng đá

Có nhiều nghiên cứu về bóng đá hơn việc chỉ đơn giản nghiên cứu chuyển động của quả cầu đang bay. Các nhà nghiên cứu còn háo hức tìm hiểu xem một cầu thủ thật ra đá quả bóng như thế nào. Chẳng hạn, Stanley Plagenhof tại Đại học Massachusetts ở Mĩ đã nghiên cứu động học của cú sút – nói cách khác, bỏ qua các lực có liên quan. Các nhà nghiên cứu khác, như Elizabeth Roberts cùng các cộng sự tại Đại học Wisconsin, thì thực hiện các phân tích động lực học của cú sút, tính đến các lực có liên quan.

Những cách tiếp cận thực nghiệm này đã mang lại một số kết quả thú vị, mặc dù nhiều thách thức vẫn còn đó. Một trong những trở ngại quan trọng nhất là sự khó khăn của việc đo chuyển động vật lí của con người, một phần vì chuyển động của họ quá khó tiên đoán trước. Tuy nhiên, những tiến bộ gần đây trong việc phân tích chuyển động với sự hỗ trợ của máy tính đã thu hút nhiều sự chú ý vào khoa học thể thao, và, với sự hỗ trợ của các phương pháp khoa học mới, hiện nay người ta đã có thể thực hiện các phép đo chính xác ở mức hợp lí của chuyển động của con người.

Thí dụ, hai trong các tác giả (TA và TA) và một đội nghiên cứu tại Đại học Yamagata ở Nhật Bản đã sử dụng một phương pháp khoa học điện toán phối hợp với các phương pháp động lực học mang tính truyền thống hơn để mô phỏng cách thức các chân sút đá vào quả bóng. Những mô phỏng này đã cho phép tạo ra các cầu thủ bóng đá “ảo” thuộc những hạng khác nhau – từ những mới tập chơi và trẻ con cho đến giới chuyên nghiệp – để chơi trong không gian và thời gian ảo trên máy tính. Các nhà sản xuất dụng cụ thể thao, như ASICS Corporation, hãng tài trợ cho dự án Yamagata, cũng thấy hứng thú với công việc đó. Họ hi vọng sử dụng các kết quả để thiết kế ra những dụng cụ thể thao an toàn hơn và hiệu quả hơn có thể hoạt động nhanh hơn và kinh tế hơn so với các sản phẩm hiện có.

alt

Các nhà nghiên cứu tại Đại học Yamagata ở Nhật Bản đã sử dụng phép phân tích phần tử hữu hạn để mô phỏng cách thức người ta đá bóng. Minh họa này thể hiện sự biến dạng trên chân và trên quả bóng, biến đổi từ màu hồng (thấp nhất) sang màu xanh lam, xanh lục và vàng rồi đến đỏ (cao nhất). Những nghiên cứu này xác nhận những cái đa số các cầu thủ đều biết. Nếu bạn đá quả bóng hơi lệch tâm một chút với má trước bàn chân của bạn – và với mắt cá chân của bạn uốn cong thành hình chữ “L” – thì quả bóng sẽ uốn cong trong khi bay. Điều này làm cho lực đặt vào tác dụng như một mômen quay, làm cho quả bóng xoay tròn, cho phép hiệu ứng Magnus tham gia vào cuộc chơi.

Chuyển động của các cầu thủ được theo dõi bằng video tốc độ cao 4500 khung hình/giây, và tác dụng của bàn chân lên quả bóng khi đó được nghiên cứu với phương pháp phân tích phần tử hữu hạn. Các thí nghiệm ban đầu chứng tỏ cái đa số các cầu thủ đều biết: nếu bạn đá quả bóng thẳng hướng với mu bàn chân của bạn sao cho bàn chân chạm vào quả bóng theo hướng xuyên tâm hấp dẫn của quả bóng, thì quả bóng bay đi theo đường thẳng. Tuy nhiên, nếu bạn đá quả bóng với má trước chân của bạn và với góc giữa chân bạn và quả bóng là 90o, thì nó sẽ bay theo đường cong. Trong trường hợp này, tác dụng là lệch tâm. Điều này làm cho lực đặt vào tác dụng như một mômen quay, vì thế làm cho quả bóng xoay tròn.

Các kết quả thực nghiệm cũng chứng tỏ rằng chuyển động xoay tròn mà quả bóng thu được liên quan chặt chẽ với hệ số ma sát giữa bàn chân và quả bóng, và với khoảng cách thẳng góc [cánh tay đòn] giữa chân và tâm hấp dẫn của quả bóng. Mô hình phần tử hữu hạn của tác dụng của bàn chân lên quả bóng, viết bằng phần mềm DYTRAN và PATRAN của tập đoàn MacNeal Schwendler, được sử dụng để phân tích những sự kiện này bằng phương pháp số. Nghiên cứu này cho thấy sự tăng hệ số ma sát giữa quả bóng và bàn chân làm cho quả bóng thu nhiều chuyển động quay hơn.  Cũng sẽ có chuyển động quay nhiều hơn nếu điểm đặt của lực tính theo phương vuông góc càng xa tâm hấp dẫn của quả bóng. Hai hiệu ứng thú vị khác cũng được quan sát thấy. Thứ nhất, nếu khoảng cách tính theo phương vuông góc tăng lên, thì bàn chân chạm vào quả bóng trong một thời gian ngắn hơn và trên một diện tích nhỏ hơn, làm cho chuyển động quay lẫn vận tốc của quả bóng chậm đi. Do đó, có một nơi tối ưu để đá vào quả bóng nếu bạn muốn chuyển động quay cực đại: nếu bạn đá vào quả bóng quá gần hoặc quá xa tâm hấp dẫn của nó, thì nó sẽ không thu được chút chuyển động quay nào hết.

Hiệu ứng thú vị còn lại là cho dù hệ số ma sát bằng không, thì quả bóng vẫn thu được một ít chuyển động quay nếu bạn đá vào nó với cánh tay đòn của lực đá khác không. Mặc dù trong trường hợp này không có lực tiếp tuyến song song với chu vi của quả bóng (vì hệ số ma sát bằng không), tuy nhiên quả bóng bị biến dạng về phía tâm của nó, làm cho một phần lực tác dụng đâu đó tại tâm hấp dẫn của nó. Vì thế, có thể làm xoay tròn một quả bóng đá trong một ngày mưa, mặc dù chuyển động quay đó sẽ kém hơn nhiều so với khi thời tiết khô ráo.

Tất nhiên, phân tích trên có một vài hạn chế. Không khí phía bên ngoài quả bóng đã bị bỏ qua, và đã giả sử rằng không khí bên trong quả bóng hành xử theo một mô hình dòng chất lưu nhớt, nén được. Trên lí tưởng thì cả không khí bên trong lẫn bên ngoài quả bóng phải được tính đến, và hệ số nhớt mô phỏng bằng các phương trình Navier-Stokes. Cũng đã giả sử rằng bàn chân là đồng đều, khi hiển nhiên rằng một bàn chân thực tế thì phức tạp hơn nhiều. Mặc dù không thể tạo ra một mô hình hoàn hảo để đưa mỗi yếu tố vào tính toán, nhưng mô hình này thật sự bao gồm những đặc điểm quan trọng nhất.

Nhìn về tương lai, hai trong số chúng ta (TA và TA) còn có kế hoạch nghiên cứu tác dụng của các loại giày tất khác nhau đối với việc đá vào quả bóng. Đồng thời, ASICS đang kết hợp các mô phỏng phần tử hữu hạn Yamagata với cơ sinh học, sinh lí học và khoa học vật liệu để thiết kế ra các loại giày bóng đá. Tuy nhiên, điều tối hậu là người cầu thủ mới gây ra sự khác biệt – và không có năng lực thì công nghệ cũng là vô dụng.

Tiếng còi chung cuộc

Vậy chúng ta có thể học được những gì từ Roberto Carlos? Nếu bạn đá vào quả bóng đủ mạnh cho dòng không khí bên ngoài bề mặt trở thành xoáy, thì lực kéo theo vẫn nhỏ và quả bóng sẽ thật sự bay đi. Nếu bạn muốn quả bóng bay theo đường cong, thì hãy cấp cho nó nhiều chuyển động quay bằng cách đá vào nó lệch tâm. Yêu cầu dễ thực hiện vào một ngày khô ráo hơn là một ngày ẩm ướt, nhưng vẫn có thể thực hiện bất kể thời tiết. Quả bóng sẽ chuyển động cong nhiều nhất khi nó chuyển động chậm dần vào chế độ chảy thành lớp, nên bạn cần phải tập luyện để đảm bảo rằng sự chuyển tiếp này xảy ra ở đúng chỗ thích hợp – thí dụ, ngay sau khi quả bóng đi qua hàng rào hậu vệ. Nếu thời tiết ẩm ướt, bạn vẫn có thể làm cho quả bóng xoay, nhưng tốt hơn bạn nên giữ cho quả bóng (và đôi giày của bạn) khô ráo.

Các đây gần 90 năm trước, J J Thomson đã thuyết giảng tại Viện Hoàng gia ở London về động lực học của các quả bóng golf. Ông được trích dẫn đã nói như sau: “Nếu chúng ta có thể chấp nhận những lời giải thích của hành vi của quả bóng do nhiều người đóng góp mang lại cho kho tài liệu rất đồ sộ đã được sưu tập về trò chơi này... thì tôi sẽ trình bày trước quý vị trong buổi tối hôm nay một cơ sở động lực học mới, và thông báo rằng vật chất, khi cấu tạo nên các quả bóng [golf] tuân theo các định luật của một đối tượng hoàn toàn khác với các đối tượng chi phối hoạt động của nó trong bất kì điều kiện nào khác”. Trong bóng đá, ít nhất, chúng ta có thể chắc chắn rằng mọi thứ đã diễn ra hợp quy luật khoa học.

  • Takeshi Asal, Takao Akatsuka (Khoa Kĩ thuật, Đại học Yamagata, Nhật Bản). Steve Haake (Đại học Sheffield Hallam, Vương quốc Anh).

Tham khảo

C B Daish 1972 The Physics of Ball Games (The English University Press, London)
S J Haake (ed) 1996 The Engineering of Sport (A A Balkema, Rotterdam)
R D Mehta 1985 Aerodynamics of sports balls Ann. Rev. Fluid Mech. 17 151–189

  • Trần Nghiêm dịch (theo Physics World, tháng 6/1998)

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Extension Thuvienvatly.com cho Chrome

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Sinh viên Mĩ giải được bài toán electron 60 năm tuổi
14/12/2017
Trong sáu thập niên qua, các nhà khoa học vẫn hằng tìm kiếm một luồng electron ẩn náu ở gần Trái Đất nhưng chưa hề tìm
10 đột phá vật lí của năm 2017
13/12/2017
Tạp chí Physics World của Anh bình chọn các thành tựu quan trắc đa kênh liên quan đến sóng hấp dẫn là Đột phá của năm
Trump lệnh cho NASA trở lại Mặt Trăng
12/12/2017
Lần cuối các nhà du hành vũ trụ người Mĩ đặt chân lên Mặt Trăng là hồi những năm 1970. Tổng thống Mĩ Donald Trump muốn
Top 10 khám phá thiên văn học (Phần 2)
07/12/2017
6. Sự át trội của vật chất tối Hồi thập niên 1970, Vera Rubin không những đã có một khám phá vũ trụ học đồ sộ, mà trong
Top 10 khám phá thiên văn học (Phần 1)
05/12/2017
Những phát hiện không những làm thay đổi thế giới, mà còn thách thức cách chúng ta nhìn nhận sự tồn tại của mình và vị
Moment từ proton được đo chính xác nhất từ trước đến nay
26/11/2017
Các nhà vật lí ở Đức vừa đo được moment từ của proton đến sai số 0,3 phần tỉ. Giá trị này tốt gấp 11 bậc so với phép
Kiểm tra bản chất lượng tử của lực hấp dẫn
26/11/2017
Bất chấp hàng thập kỉ nỗ lực phấn đấu, một lí thuyết về lực hấp dẫn lượng tử vẫn nằm ngoài tầm với của chúng
Lỗ đen ăn thịt sao và ợ ra tia vũ trụ
26/11/2017
Kịch bản sao lùn trắng bị lỗ đen xé xác có thể giải thích được những cơn mưa tia vũ trụ và neutrino mà chúng ta thấy trên
Vui Lòng Đợi

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com