Toán học cấp tốc (Phần 15)

Tập trù mật

Trù mật là một tính chất mô tả mối liên hệ giữa các tập hợp và tập con của chúng khi giữa các phần tử của các tập hợp đó có khái niệm khoảng cách. Nó đem lại một cách đánh giá “cỡ” tương đối của các tập hợp vô hạn khác so với việc đếm các phần tử. Chẳng hạn, một cách xây dựng ý nghĩa rằng số hữu tỉ là một tập hợp “rất lớn” là chúng trù mật trong một tập con đặc biệt, trong trường hợp này là số thực, chính tập này là “rất lớn”.

Một tập X được nói là trù mật trong một tập Y khác, nếu X là một tập con của Y, và một điểm bất kì trong X hoặc là một phần tử của Y, hoặc ở gần tùy ý đến một phần tử: ứng với mỗi điểm trong Y ta có thể chọn khoảng cách d bất kì lớn hơn 0 và tìm thấy một điểm trong X nằm bên trong khoảng cách d đến điểm đó.

Để chứng minh số hữu tỉ trù mật trong số thực, chẳng hạn, chúng ta chọn một khoảng cách d và một số thực y, rồi chứng minh rằng luôn luôn có một số hữu tỉ x nằm trong cự li d đến y, điều đó được thực hiện bằng cách xét bớt phần mở rộng thập phân của y.

Tập trù mật

Tập hợp không đếm được

Tập hợp không đếm được là tập hợp vô hạn có các phần tử không thể sắp xếp theo một trật tự đếm. Sự tồn tại của những tập hợp như thế có nghĩa là có ít nhất hai kiểu tập hợp vô hạn, đếm được và không đếm được, và hóa ra thì có nhiều vô số kiểu tập hợp không đếm được. Làm thế nào ta có thể chứng minh một tập hợp là đếm được? Vào năm 1891, nhà toán học Đức Georg Cantor đã dùng chứng minh phản chứng để chỉ ra rằng tập hợp gồm các số thực giữa 0 và 1 là không đếm được. Nếu nó đếm được, theo ông lập luận, thì có một danh sách vô hạn nhưng đếm được của các phần tử của nó, mỗi phần tử có thể được viết ở dạng:

0,a1a2a3a4

trong đó mỗi chữ số ak là một số tự nhiên giữa 0 và 9.

Cantor phủ nhận mệnh đề này bằng cách chỉ ra rằng người ta luôn có thể xây dựng một số thực giữa 0 và 1 không nằm trong danh sách này. Giả sử số thứ k trong danh sách là số thực có phần triển khai thập phân:

0,ak1ak2ak3ak4

Trong trường hợp đó, ta có thể viết một con số không nằm trong danh sách bằng cách nhìn vào số thứ nhất trong danh sách, k = 1, và chọn chữ số đầu tiên trong phần triển khai thập phân của con số mới của chúng ta bằng 7 nếu a11 = 6, và bằng 6 nếu ngược lại. Để chọn chữ số thứ hai, ta áp dụng quy tắc giống vậy, nhưng sử dụng chữ số thứ hai của số thứ hai trong danh sách. Chữ số thứ ba được tìm từ số thứ ba, và cứ thế:

0,a11a12a13a14

0,a21a22a23a24

0,a31a32a33a34

Cuối quá trình vô hạn này, ta sẽ có một con số có phần triển khai thập phân chỉ gồm các chữ số 6 và 7 và khác với bất kì con số thứ n nào ở chữ số thập phân thứ n – vì thế danh sách ban đầu là không hoàn chỉnh, và tập hợp là không đếm được. Đây gọi là luận cứ chéo của Cantor.

TOÁN HỌC CẤP TỐC
Paul Glendinning | Bản dịch của TVVL

<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Downlaod video thí nghiệm

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 90)
25/05/2020
Đồng hồ tròn năm 1841 Những đồng hồ đầu tiên không có kim phút. Kim phút chỉ trở nên quan trọng cùng với sự phát triển
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 89)
25/05/2020
Định luật Joule về sự tỏa nhiệt do dòng điện 1840 James Prescott Joule (1818-1889)   Các bác sĩ phẫu thuật thường ăn
Câu chuyện phát minh laser: Và thế là có ánh sáng!
22/05/2020
Kỉ niệm 60 năm laser ra đời. Bài của Pauline Rigby trên tạp chí Physics World, số tháng 5/2020. Cuộc đua chế tạo laser đã khởi
Tìm hiểu nhanh về Vật chất (Phần 9-Hết)
21/05/2020
Chương 9 Vật chất tối và năng lượng tối Khi chúng ta nhìn vào không gian sâu thẳm với kính thiên văn của mình, chúng ta nhìn
Bảng tuần hoàn hóa học tốc hành (Phần 100-Hết)
19/05/2020
Oganesson Việc tạo ra các nguyên tố siêu nặng mới là một bài tập thực hành trong việc theo đuổi bóng ma nguyên tử. Những
Bảng tuần hoàn hóa học tốc hành (Phần 99)
19/05/2020
Moscovium Món chén Thánh của nghiên cứu nguyên tố siêu nặng là định vị cái gọi là các hòn đảo ổn định. Đây là những
Galileo và bản chất của khoa học vật lí
13/05/2020
3.1 Giới thiệu Có ba câu chuyện được kể lại. Chuyện thứ nhất kể Galileo là một nhà triết học tự nhiên. Không giống
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần 50)
12/05/2020
15. NHỮNG CHỈ TRÍCH ĐANG QUY KẾT Năm 2000, một cuộc tranh cãi dữ dội nổ ra trong cộng đồng khoa học. Một trong những người

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com