Toán học cấp tốc (Phần 15)

Tập trù mật

Trù mật là một tính chất mô tả mối liên hệ giữa các tập hợp và tập con của chúng khi giữa các phần tử của các tập hợp đó có khái niệm khoảng cách. Nó đem lại một cách đánh giá “cỡ” tương đối của các tập hợp vô hạn khác so với việc đếm các phần tử. Chẳng hạn, một cách xây dựng ý nghĩa rằng số hữu tỉ là một tập hợp “rất lớn” là chúng trù mật trong một tập con đặc biệt, trong trường hợp này là số thực, chính tập này là “rất lớn”.

Một tập X được nói là trù mật trong một tập Y khác, nếu X là một tập con của Y, và một điểm bất kì trong X hoặc là một phần tử của Y, hoặc ở gần tùy ý đến một phần tử: ứng với mỗi điểm trong Y ta có thể chọn khoảng cách d bất kì lớn hơn 0 và tìm thấy một điểm trong X nằm bên trong khoảng cách d đến điểm đó.

Để chứng minh số hữu tỉ trù mật trong số thực, chẳng hạn, chúng ta chọn một khoảng cách d và một số thực y, rồi chứng minh rằng luôn luôn có một số hữu tỉ x nằm trong cự li d đến y, điều đó được thực hiện bằng cách xét bớt phần mở rộng thập phân của y.

Tập trù mật

Tập hợp không đếm được

Tập hợp không đếm được là tập hợp vô hạn có các phần tử không thể sắp xếp theo một trật tự đếm. Sự tồn tại của những tập hợp như thế có nghĩa là có ít nhất hai kiểu tập hợp vô hạn, đếm được và không đếm được, và hóa ra thì có nhiều vô số kiểu tập hợp không đếm được. Làm thế nào ta có thể chứng minh một tập hợp là đếm được? Vào năm 1891, nhà toán học Đức Georg Cantor đã dùng chứng minh phản chứng để chỉ ra rằng tập hợp gồm các số thực giữa 0 và 1 là không đếm được. Nếu nó đếm được, theo ông lập luận, thì có một danh sách vô hạn nhưng đếm được của các phần tử của nó, mỗi phần tử có thể được viết ở dạng:

0,a1a2a3a4

trong đó mỗi chữ số ak là một số tự nhiên giữa 0 và 9.

Cantor phủ nhận mệnh đề này bằng cách chỉ ra rằng người ta luôn có thể xây dựng một số thực giữa 0 và 1 không nằm trong danh sách này. Giả sử số thứ k trong danh sách là số thực có phần triển khai thập phân:

0,ak1ak2ak3ak4

Trong trường hợp đó, ta có thể viết một con số không nằm trong danh sách bằng cách nhìn vào số thứ nhất trong danh sách, k = 1, và chọn chữ số đầu tiên trong phần triển khai thập phân của con số mới của chúng ta bằng 7 nếu a11 = 6, và bằng 6 nếu ngược lại. Để chọn chữ số thứ hai, ta áp dụng quy tắc giống vậy, nhưng sử dụng chữ số thứ hai của số thứ hai trong danh sách. Chữ số thứ ba được tìm từ số thứ ba, và cứ thế:

0,a11a12a13a14

0,a21a22a23a24

0,a31a32a33a34

Cuối quá trình vô hạn này, ta sẽ có một con số có phần triển khai thập phân chỉ gồm các chữ số 6 và 7 và khác với bất kì con số thứ n nào ở chữ số thập phân thứ n – vì thế danh sách ban đầu là không hoàn chỉnh, và tập hợp là không đếm được. Đây gọi là luận cứ chéo của Cantor.

TOÁN HỌC CẤP TỐC
Paul Glendinning | Bản dịch của TVVL

<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Extension Thuvienvatly.com cho Chrome

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Lược sử âm thanh
28/02/2021
Sóng âm: 13,7 tỉ năm trước Âm thanh có nguồn gốc từ rất xa xưa, chẳng bao lâu sau Vụ Nổ Lớn tĩnh lặng đến chán ngắt.
Đồng hồ nước Ktesibios
03/01/2021
Khoảng năm 250 tCN. “Đồng hồ nước Ktesibios quan trọng vì nó đã làm thay đổi mãi mãi sự hiểu biết của chúng ta về một
Tic-tac-toe
05/12/2020
Khoảng 1300 tCN   Các nhà khảo cổ có thể truy nguyên nguồn gốc của “trò chơi ba điểm một hàng” đến khoảng năm 1300
Sao neutron to bao nhiêu?
18/09/2020
Các nhà thiên văn vật lí đang kết hợp nhiều phương pháp để làm hé lộ các bí mật của một số vật thể lạ lùng nhất
Giải chi tiết mã đề 219 môn Vật Lý đề thi TN THPT 2020 (đợt 2)
04/09/2020
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 96)
04/09/2020
Khám phá Hải Vương tinh 1846 John Couch Adams (1819–1892), Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811–1877), Johann Gottfried Galle (1812–1910) “Bài
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 95)
04/09/2020
Các định luật Kirchhoff về mạch điện 1845 Gustav Robert Kirchhoff (1824–1887) Khi vợ của Gustav Kirchhoff, Clara, qua đời, nhà vật
Lực nâng từ tách biệt tế bào sống với tế bào chết
27/08/2020
Một kiểu lực nâng từ có thể tách các tế bào sống với tế bào chết mà không làm thay đổi hay làm hỏng chúng. Quá trình có

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

Đọc nhiều trong tháng



360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com