Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 30)

119. Đẳng cấu là gì?

Cái cũng có khả năng xảy ra là hai nhóm với các loại phần tử và toán tử khá khác nhau nhưng về cơ bản lại giống nhau theo một ý nghĩa trừu tượng nào đó.

Ví dụ, xét nhóm {I, R, R1} của phép quay của một tam giác đều lần lượt qua 0o, 120o, 240o, và nhóm {1, w, w2} của căn bậc ba của đơn vị đối với phép nhân.

Sau đây là bảng nhân cho hai nhóm:

I

R

R’

1

w

w2

I

I

R

R’

1

1

w

w22

R

R

R’

I

w

w

w2

1

R’

R’

I

R

w2

w2

1

w

Bảng thứ nhất cho biết rằng:

Các phần tử thuộc hàng trên cùng, khi nhân với I cho I, R, R’; khi nhân với R cho R, R’, I; khi nhân với R’ cho R’, I, R.

Tương tự cho bảng thứ hai.

Bạn có thể thấy rằng bảng thứ nhất trở nên giống hệt với bảng thứ hai nếu I, R, R’ được thay tương ứng bởi 1, w, w2.

Hai nhóm thể hiện một sự tương ứng một-một giữa các phần tử tương ứng, và tích của chúng, được gọi là đẳng cấu với nhau.

Hai nhóm đẳng cấu được nói là giống hệt về mặt trừu tượng.

120. Mục đích là gì nếu hai nhóm khác nhau được biết có cấu trúc giống nhau?

Nếu hai nhóm được biết có cấu trúc giống nhau, thì người ta nghiên cứu nhóm quen thuộc và sau đó áp dụng kết quả cho nhóm kia.

Như vậy, lí thuyết nhóm làm sáng tỏ sự đồng nhất ẩn sau những khác biệt biểu kiến, và mở ra hướng khai thác thông tin mà nếu không có nó thì không thể đạt tới.

121. Lí thuyết nhóm được phân chia thành một vài ngành nhỏ như thế nào?

Các phương pháp và các khái niệm của lí thuyết nhóm tỏ ra cực kì quan trọng không những cho nghiên cứu các quy luật đối xứng mà còn cho việc giải nhiều bài toán khác.

Vì mỗi lĩnh vực ứng dụng có những bài toán riêng đặc thù của nó, cho nên số lượng tăng dần của những lĩnh vực này đòi hỏi người ta sáng tạo ra những ngành mới của lí thuyết nhóm thích hợp cho những chủ đề và những ngữ cảnh khác nhau.

Do đó, lí thuyết nhóm, đó là một thực thể khi xét theo những khái niệm căn bản của nó, phân chia thành một số ngành ít nhiều độc lập nhau.

122. Những ngành phân chia này là gì?

Một số ngành được kể ra như sau:

Lí thuyết nhóm đại cương,

Lí thuyết nhóm hữu hạn,

Lí thuyết nhóm liên tục,

Lí thuyết nhóm rời rạc,

Lí thuyết biểu diễn và đặc trưng của nhóm.

123. VÀNH là gì?

Một vành là một hệ với hai toán tử.

Một tập hợp R của các phần tử trên đó hai toán tử + và . (gọi là phép cộng và phép nhân) được định nghĩa, được gọi là một vành nếu:

(i)                  Phép cộng thỏa mãn tính đóng, tính kết hợp và tính giao hoán.

(ii)                R chứa số đối cho mỗi phần tử và đồng thời chứa phần tử đồng nhất zero.

(iii)               Phép nhân thỏa mãn tính đóng và tính kết hợp, và được phân phối đối với phép cộng, tức là a.(b + c) = a.b + a.c, và (b + c).a = b.a + c.a đối với mọi a, b, c thuộc R.

Tóm lại, một vành

(1)    Tạo thành một nhóm giao hoán đối với phép cộng, và

(2)    Toán tử gọi là phép nhân phải thỏa mãn tính đóng, tính phân phối và kết hợp.

124. Nêu một ví dụ quen thuộc của vành?

Dưới phép cộng và phép nhân các số nguyên, thì tập hợp các số nguyên là một vành.

125. Vành giao hoán là gì?

Nếu toán tử gọi là phép nhân còn có tính giao hoán, tức là a.b = b.a đúng cho mọi phần tử, thì vành đó được gọi là vành giao hoán.

126. Nhưng phép nhân chẳng phải luôn giao hoán đó sao?

Không. Không phải luôn luôn.

Kiến thức phổ thông là 4 × 5 = 5 × 4, tức là a × b = b × a.

Nhưng tính chất này chỉ đúng với các hệ quen thuộc như tập hợp số nguyên, phân số, số hữu tỉ, vân vân.

Có những hệ trong đó tính chất này không đúng.

Các vector và ma trận là thí dụ điển hình.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Tạo bảng điểm online

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 92)
05/07/2020
Hiệu ứng Doppler 1842 Christian Andreas Doppler (1803–1853), Christophorus Henricus Diedericus Buys Ballot (1817–1890) “Khi viên sĩ quan cảnh
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 91)
05/07/2020
Quang học sợi 1841 Jean-Daniel Colladon (1802–1893), Charles Kuen Kao (sinh 1933), George Alfred Hockham (sinh 1938)   Khoa học về sợi
Thời gian có thật sự trôi không?
28/06/2020
Các định luật vật lí hàm ý rằng sự trôi qua của thời gian là một ảo giác. Để né tránh kết luận này, chúng ta phải suy
Chuyện kể của một hạt muon
19/06/2020
Khám phá muon từng khiến các nhà vật lí bối rối. Ngày nay, các thí nghiệm quốc tế sử dụng hạt vốn từng khó hiểu này để
Vì sao lực hấp dẫn khác với những lực còn lại?
17/06/2020
Chúng tôi hỏi bốn nhà vật lí tại sao lực hấp dẫn lạc lõng trong số các lực của tự nhiên. Và chúng tôi nhận được bốn
Cấp độ trong vật lí học
13/06/2020
Không giống triết học, logic học, hay toán học thuần túy, vật lí là một khoa học vừa mang tính kinh nghiệm vừa mang tính định
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần cuối)
13/06/2020
TRIẾT HỌC VÀ KHOA HỌC THẦN KINH Cuộc tranh luận giữa Nguyên lý Copernican và Nguyên lý Nhân loại cũng tạo ra tiếng vang trong khoa
Các nghịch lí Zeno
09/06/2020
ACHILLES VÀ CON RÙA “Mọi chuyển động đều là ảo giác.” Xếp thứ nhất trong chín nghịch lí của chúng ta có từ hai thiên

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com