Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 23)

62. Mở rộng hệ thống số thì có lợi gì? Hay định lí cơ bản của đại số học là gì?

Với hệ thống số mở rộng bao gồm toàn bộ số tự nhiên, phân số, số âm, số vô tỉ và số phức, người ta đã có thể phát biểu một định đề rất quan trọng và đẹp đẽ gọi là định lí cơ bản của đại số học.

Nó phát biểu rằng mọi phương trình đại số bậc n với các hệ số thực hoặc hệ số phức luôn luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc nghiệm phức.

Nó được gọi là định lí cơ bản của đại số học bởi vì khi nó được Gauss chứng minh lần đầu tiên vào năm 1799, nghiên cứu đại số học chỉ mới hạn chế với lí thuyết của các phương trình. Mặc dù định lí cực kì quan trọng nhưng tên gọi như thế không còn hợp lí trước sự thay đổi to lớn về bản chất và quy mô của đại số học.

Một hệ quả rất hữu ích của định lí này là mỗi phương trình đại số bậc n không phải có một mà có chính xác n nghiệm. Tất nhiên, ở đây ta giả sử rằng một nghiệm trùng lắp cũng được đếm là một nghiệm.

63. Tại sao định lí cơ bản của đại số học được gọi là định lí tồn tại?

Nó được gọi là định lí tồn tại vì nó chỉ đơn giản cho chúng ta biết số lượng nghiệm tồn tại đối với một phương trình cho trước, chứ nó không đề cập tới phương pháp xác định nghiệm.

64. Định lí này có đúng cho mọi loại phương trình không?

Không. Định lí chỉ đúng đối với các phương trình đại số vì có tồn tại những phương trình phi-đại số không có nghiệm gì cả!

Ví dụ, phương trình ax = 0, trong đó a là một số thực, không có nghiệm nào hết!

65. Những phương trình nào được gọi là phi-đại số?

Sau đây là một vài phương trình phi-đại số:

(i)                  x + log10x = 5

(ii)                ex – 3x = 0

(iii)               x2 + 4 sinx = 0

Những phương trình này là phi-đại số vì chúng chứa các biểu thức logarithm, lũy thừa hoặc lượng giác.

66. Hệ thống số có được khái quát hóa vượt ra ngoài số phức hay không?

Đã có những nỗ lực khái quát hóa thêm khái niệm số nhưng không thành công cho lắm.

Các quaternion và số siêu phức đã được phát minh để có sự khái quát hóa như thế.

67. Quaternion là gì?

Một quaternion là một kí hiệu thuộc loại a + bi + cj + dk, trong đó a, b, c, d là các số thực, và i, j, k là các kí hiệu toán tử.

Tổng của hai quaternion được định nghĩa đơn giản. Ví dụ, tổng của hai quaternion

x = x0 + x1i + x2j + x3k

và y = y0 + y1i + y2j + y3k

là x + y = (x0 + y0) + (x1 + y1)i + (x2 + y2)j + (x3 + y3)k.

Tích của hai quaternion được định nghĩa bằng cách sử dụng luật phân phối và những quy ước sau đây:

i2 = j2 = k2 = - 1

ij = - ji = k

jk = - kj = i

ki = - ik = j

Chúng được phát minh bởi William R. Hamilton.

68. Số siêu phức là gì?

Một số siêu phức được kí hiệu bởi biểu thức

E1x1 + E2x2 +… + Enxn,

trong đó x1, x2,…, xn là các số thực, và E1, E2,…, Elà các kí hiệu toán tử.

Nó còn được gọi là vector n chiều, và được sáng tạo bởi Grassmann, một người đương thời với Hamilton.

Lí thuyết số siêu phức bao hàm các quaternion, nên các quaternion có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của số siêu phức.

69. Tại sao những mở rộng này của hệ thống số ít được biết tới?

Có nhiều lí do.

Các nhà vật lí và các nhà toán học ứng dụng thấy chúng quá khái quát và phức tạp cho những nhu cầu hằng ngày của họ.

Thứ hai, một công cụ toán học đơn giản hơn nhiều gọi là Giải tích Vector đã được phát triển, do sức mạnh to lớn của nó mà nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu như mỗi ngành vật lí toán và nhiều lĩnh vực khác.

Thứ ba, các quy ước mà Hamilton sử dụng để định nghĩa tích của hai quaternion hay các quy tắc mà Grassmann lập ra để kết hợp hai số siêu phức không thỏa mãn sức mạnh của tính hợp thức của toán học.

70. Vậy câu hỏi cần trả lời là gì: Khái niệm số có được mở rộng thêm vượt ra ngoài hệ số phức hay không?

Câu trả lời là Không, và đó là một bước ngoặc lớn.

Weierstrass đã chứng minh vào khoảng năm 1860, và sau này được Hilbert chứng minh đơn giản hơn nữa, rằng không thể có sự khái quát hóa nào thêm nữa theo xu hướng đặc biệt này.

Chúng ta đã đi tới cuối con đường.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Downlaod video thí nghiệm

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


CERN xác nhận ánh sáng có thể tán xạ bởi ánh sáng
19/08/2019
Tán xạ photon-photon là quá trình điện động lực học lượng tử lần đầu tiên đã được xác nhận thực nghiệm đến độ
11 câu hỏi lớn về vật chất tối vẫn chưa được trả lời
18/08/2019
Vào thập niên 1930, một nhà thiên văn Thụy Sĩ tên là Fritz Zwicky để ý thấy các thiên hà trong một đám thiên hà ở xa đang quay
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần 18)
18/08/2019
CÂU CHUYỆN ĐẠO ĐỨC Có mọi ước muốn trở thành sự thật là cái gì đó mà chỉ một điều thần tính mới có thể hoàn
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần 17)
18/08/2019
ĐẠI DIỆN và THAY THẾ Trong phim "Surrogates", Bruce Willis đóng vai một điệp viên FBI đang điều tra những vụ giết người bí ẩn.
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 42)
16/08/2019
Định luật chất khí Boyle 1662 Robert Boyle (1627-1691) “Marge, sao thế em?” Homer Simpson hỏi khi để ý thấy cơn đau của bà vợ
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 41)
16/08/2019
Máy phát tĩnh điện Von Guericke 1660 Otto von Guericke (1602–1686), Robert Jemison Van de Graaff (1901–1967) Nhà sinh lí học thần kinh
Bảng tuần hoàn hóa học tốc hành (Phần 54)
15/08/2019
Manganese Manganese là một kim loại cứng và giòn, chủ yếu dùng trong các hợp kim thép. Dù không có nhiều ưu điểm, nhưng nó là
Bảng tuần hoàn hóa học tốc hành (Phần 53)
15/08/2019
Vanadium Là một nguyên tố nữa liên quan đến vùng Scandinavia, vanadium được đặt tên theo Vanadis – một trong chín tên gọi khác

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com