Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 20)

31. Số nguyên tố sinh đôi là gì?

Một hiện tượng thú vị là sự xuất hiện của những cặp số nguyên tố còn gọi là số nguyên tố sinh đôi.

Một cặp sinh đôi là một cặp số nguyên tố có hiệu bằng 2, ví dụ như 11 và 13.

Các cặp số nguyên tố nhỏ hơn 1000, xếp theo thứ tự, là:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), và (881, 883).

32. Có phải các số nguyên tố sinh đôi cũng vô hạn về số lượng?

Ba mươi lăm cặp số vừa nêu ở trên là nằm giữa 1 và 1000. Nhưng danh sách có thể tiếp tục kéo dài đến vô hạn.

Một cặp sinh đôi khác là (4049, 4051).

Một cặp khác nữa là (1.000.000.009.649, 1.000.000.009.651).

Người ta ước đoán rằng số lượng cặp số nguyên tố sinh đôi là vô hạn, nhưng chưa ai chứng minh được.

33. Tính chất chung cho các số nguyên tố sinh đôi là gì?

Mọi cặp số nguyên tố, trừ ngoại lệ là cặp số đầu tiên, tức cặp (3,5), có một tính chất chung nổi bật là tổng các số trong cặp luôn luôn chia hết cho 12.

Ví dụ, cặp (5,7) có tổng bằng 12, cặp (11,13) có tổng bằng 24, cặp (17,19) có tổng bằng 26, và vân vân, mỗi tổng đều chia hết cho 12.

34. Một hợp số có bao nhiêu ước số?

Đặt N = apbqcr là một hợp số, trong đó a, b, c là những số nguyên tố khác nhau, và p, q, r là các số nguyên dương.

Số lượng ước số khi đó là (p + 1)(q + 1)(r + 1).

Làm thế nào có được?

Xét tích số

(1 + a + a2 + ... + ap) (1 + b + b2 + ... + bq) (1 + c + c2 + ... + cr).

Tổng các số hạng trong tích này là (p + 1)(q + 1)(r + 1) và mỗi số hạng trong tích trên là một ước số của con số đã cho. Vì thế, số lượng ước số là (p + 1)(q + 1)(r + 1).

Đồng thời, không còn số nào khác có thể là ước số.

Trong các ước số này đã tính luôn cả 1 và số N.

35. Tính chất này được khái quát hóa như thế nào?

Nếu N = apbqcrds..., thì số lượng ước số tương tự sẽ là (p + 1)(q + 1)(r + 1)(s + 1)..., trong đó đã tính cả 1 và số N.

36. Số 30 có bao nhiêu ước số, và chúng bằng bao nhiêu?

Vì 30 = 2 × 3 × 5 = 21 × 31 × 51,

nên số lượng ước số = 2 × 2 × 2 = 8.

Các ước số đó là 2, 3, 5, 6, 10, 15; 1 và 30.

37. Số 7056 có bao nhiêu ước số?

Vì 7056 = 24 × 32 × 72,

nên số lượng ước số = (4 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 5 × 3 × 3 = 45.

Nếu trừ đi hai ước số tầm thường 1 và 7056 thì số lượng ước số đích thực = 43.

38. Làm thế nào xác định số mũ cao nhất của một số nguyên tố chứa trong n! ?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ phương pháp xác định.

Chúng ta hãy tìm số mũ cao nhất của 3 trong 100!, tức là tích 1.2.3....100.

Số nguyên 3 chỉ xuất hiện trong các số nguyên 3, 6, 9,...,99, tức là mỗi số nguyên chia hết cho 3.

Do đó, số lượng của chúng được cho bởi thương số của 100 và 3, tức là 33.

3 xuất hiện lần thứ hai trong các số nguyên 9, 18, 27,...,99, số lượng của chúng bằng thương của 100 chia 9, tức là 11.

3 xuất hiện lần thứ ba trong số nguyên 27, 54, 81.

Số lượng của chúng bằng thương số 100 chia 27, tức là 3.

3 xuất hiện lần thứ tư chỉ trong số 81.

Vì thế số mũ cao nhất cần tìm bằng 33 + 11 + 3 + 1 = 48.

Như vậy, để tìm số mũ cao nhất của một số nguyên tố p chứa trong n!, chúng ta tìm thương số của n chia lần lượt cho p, p2, p3,... rồi cộng chúng lại.

Tương tự, ta có thể tìm số mũ cao nhất của 7 chứa trong 1000! là 164.

39. Định lí Fermat là gì?

Nếu p là một số nguyên tố, và N là số nguyên tố cùng nhau với p, thì Np – 1 – 1 là một bội số của p.

Đây chính là định lí Fermat.

Vì N là số nguyên tố cùng nhau với p, nên có thể nhân biểu thức trên với N, và chúng ta có được kết quả sau:

Np – N là chia hết cho p với mỗi số nguyên tố p.

Như vậy, n2 – n là chia hết cho 2.

Nói bằng lời, kết quả này có nghĩa là hiệu giữa bình phương của một số và chính số đó luôn luôn là một số chẵn.

Tương tự, n3 – n, n5 – n, n7 – n, n11 – n,... lần lượt chia hết cho 3, 5, 7, 11,..., nhưng những kết quả tương tự không đúng đối với n4 – n, n6 – n,... vì 4, 6 không phải là số nguyên tố.

40. Nhưng làm thế nào n5 – n chia hết cho 3, chứ không riêng chia hết cho 5?

Vì 5 là số nguyên tố, do đó theo định lí Fermat n5 – n là chia hết cho 5.

Mặt khác,

n5 – n = n (n4 – 1)

           = n (n2 – 1) (n2 + 1)

           = n (n – 1) (n + 1) (n2 + 1)

           = (n – 1) n (n + 1) (n2 + 1)

(n – 1) n (n + 1) là kí hiệu cho tích của ba số tự nhiên liên tiếp, và chia hết cho 3! hoặc 6. Do đó, n5 – n là chia hết cho 5 × 6, tức là 30.

Lập luận tương tự, ta có n7 – n còn chia hết cho 7 × 6, tức là 42, chứ không riêng chia hết cho 7.

41. Từ định lí Fermat còn suy ra được những kết quả gì khác?

Ta suy ra được những kết quả sau đây:

  1. 1.Mỗi số chính phương là có dạng 5n hoặc 5n ± 1, trong đó n là một số nguyên dương.
  2. 2.Mỗi số có căn bậc ba nguyên là có dạng 9n hoặc 9n ± 1.
  3. 3.Một số vừa là chính phương vừa có căn bậc ba nguyên thì có dạng 7n hoặc 7n + 1.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Tạo bảng điểm online

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Sinh viên Mĩ giải được bài toán electron 60 năm tuổi
14/12/2017
Trong sáu thập niên qua, các nhà khoa học vẫn hằng tìm kiếm một luồng electron ẩn náu ở gần Trái Đất nhưng chưa hề tìm
10 đột phá vật lí của năm 2017
13/12/2017
Tạp chí Physics World của Anh bình chọn các thành tựu quan trắc đa kênh liên quan đến sóng hấp dẫn là Đột phá của năm
Trump lệnh cho NASA trở lại Mặt Trăng
12/12/2017
Lần cuối các nhà du hành vũ trụ người Mĩ đặt chân lên Mặt Trăng là hồi những năm 1970. Tổng thống Mĩ Donald Trump muốn
Top 10 khám phá thiên văn học (Phần 2)
07/12/2017
6. Sự át trội của vật chất tối Hồi thập niên 1970, Vera Rubin không những đã có một khám phá vũ trụ học đồ sộ, mà trong
Top 10 khám phá thiên văn học (Phần 1)
05/12/2017
Những phát hiện không những làm thay đổi thế giới, mà còn thách thức cách chúng ta nhìn nhận sự tồn tại của mình và vị
Moment từ proton được đo chính xác nhất từ trước đến nay
26/11/2017
Các nhà vật lí ở Đức vừa đo được moment từ của proton đến sai số 0,3 phần tỉ. Giá trị này tốt gấp 11 bậc so với phép
Kiểm tra bản chất lượng tử của lực hấp dẫn
26/11/2017
Bất chấp hàng thập kỉ nỗ lực phấn đấu, một lí thuyết về lực hấp dẫn lượng tử vẫn nằm ngoài tầm với của chúng
Lỗ đen ăn thịt sao và ợ ra tia vũ trụ
26/11/2017
Kịch bản sao lùn trắng bị lỗ đen xé xác có thể giải thích được những cơn mưa tia vũ trụ và neutrino mà chúng ta thấy trên
Vui Lòng Đợi

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com