Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 15)

137. Vấn đề nhất quán còn phát sinh ở đâu nữa?

Vấn đề nhất quán còn phát sinh hễ khi một mô hình phi hữu hạn được xét đến vì các mục đích lí giải.

Trong trường hợp các mô hình hữu hạn, tính nhất quán của tập hợp có thể được xác định bằng cách khảo biện hoặc liệt kê nhưng trong trường hợp các mô hình phi hữu hạn thì điều này là không thể.

Và đa số các hệ giả thiết cấu thành nền tảng của những ngành toán học quan trọng chỉ có thể được thỏa mãn bởi các mô hình phi hữu hạn.

138. Hilbert có thành công trong việc xác lập tính nhất quán của các giả thiết Euclid hay không?

Hilbert chọn cách lí giải các giả thiết Euclid theo kiểu được thông qua trong hình học tọa độ Descartes để chúng được biến đổi thành những chân lí đại số. Tính nhất quán của các giả thiết Euclid, do đó, được xác lập bằng cách chứng minh rằng chúng được thỏa mãn bởi một mô hình đại số.

Nhưng phương pháp xác lập tính nhất quán như thế này cho thấy nếu đại số là nhất quán, thì hệ thống hình học của Hilbert cũng nhất quán. Vì thế, chứng minh một hệ nào đó nhất quán chỉ là tương đối chứ không phải một chứng minh tuyệt đối.

139. Nên làm gì tiếp theo để tránh những chứng minh tương đối đó?

Để tránh những chứng minh tương đối của tính nhất quán, Hilbert đề xuất một phương pháp được gọi là siêu toán học. Phương pháp này trang bị tốt cho việc nghiên cứu tính nhất quán lẫn tính hoàn chỉnh.

Vì thế, Hilbert và những nhà toán học khác nuôi hi vọng phát triển mỗi ngành toán học bằng phương pháp tiên đề theo kiểu sao cho nó vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Và chương trình tối hậu là phát triển một khuôn khổ thống nhất cho toàn bộ toán học vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Chương trình này được gọi là “Chương trình Hilbert”.

140. Chương trình Hilbert đã thành công đến đâu?

Luận giải siêu toán học đã được triển khai thành công để xác lập tính nhất quán và hoàn thiện của những hệ bao quát hơn. Ví dụ, một chứng minh tuyệt đối của sự nhất quán đã tiến hành cho một hệ số học cho phép cộng các con số, nhưng không cho phép nhân.

Một vài nỗ lực như thế là tìm cách xây dựng một chứng minh cho phép nhân các con số, nhưng thật bất ngờ, toàn bộ những nỗ lực như thế đều thất bại.

Cuối cùng vào năm 1931, nhà toán học người Áo Kurt Gödel đã chứng minh rằng những nỗ lực như thế nhất thiết phải thất bại.

141. Gödel đã chứng minh điều gì?

hay Những hạn chế của phương pháp tiên đề là gì?

Gödel chứng minh rằng phương pháp tiên đề có những hạn chế cố hữu nhất định về tính nhất quán và tính hoàn chỉnh.

Ông chứng minh rằng tính nhất quán không thể được xác lập trong một hệ gồm toàn số học.

Ông còn chứng minh rằng phương pháp tiên đề có một hạn chế cố hữu nữa, đó là không hoàn chỉnh. Cho trước một tập hợp nhất quán bất kì gồm những tiên đề số học, có những mệnh đề số học đúng không thể được suy luận ra từ tập hợp đó.

142. Có ví dụ nào minh họa cho kết luận này không?

Một ví dụ đơn giản, giả thiết Goldbach, minh họa cho điều vừa nói.

Giả thiết phát biểu rằng mọi con số chẵn (ngoại trừ 2, bản thân nó là số nguyên tố rồi) đều có thể được biểu diễn bằng tổng của hai số nguyên tố.

Như vậy,              4 = 2 + 2,              6 = 3 + 3,              8 = 3 + 5

                                10 = 5 + 5,            12 = 5 + 7,            14 = 7 + 7

                                16 = 5 + 11,          18 = 5 + 13,          20 = 7 + 13,

Tương tự,            50 = 19 + 31,       100 = 3 + 97,       200 = 3 + 197,...

Mặc dù người ta chẳng tìm thấy con số chẵn nào không bằng tổng của hai số nguyên tố, nhưng chưa có ai tìm ra cách chứng minh đúng cho mọi con số chẵn.

Giả thiết trên có vẻ là một mệnh đề đúng nhưng không thể được suy luận ra từ các tiên đề của số học.

143. Liệu một tập hợp tiên đề khác không giải quyết được sao?

Có lẽ nên đề xuất cải tiến hoặc mở rộng các tiên đề để cho định lí này và những định lí có liên quan khác có thể được suy luận ra. Nhưng cho dù chúng ta có bổ sung bất kì số lượng hữu hạn nào của các tiên đề số học, thì hệ thống đã mở rộng đó vẫn không đủ để mang lại mọi chân lí số học.

Sẽ luôn luôn có những chân lí số học khác nữa sẽ không được suy luận ra từ tập hợp đã mở rộng đó. Như vậy, phương pháp tiên đề căn bản là không hoàn chỉnh.

Gödel còn chứng minh rằng đối với những hệ thuộc loại quan trọng nhất, tính nhất quán là không tương thích với tính hoàn chỉnh. Những hệ như thế, nếu nhất quán, thì nhất thiết phải không hoàn chỉnh.

Đồng thời, nếu một hệ là hoàn chỉnh (ví dụ, một hệ chỉ cho phép cộng mà không nhân các con số), nó có thể được chứng minh là không nhất quán.

144. Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là gì?

Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là không có hệ thống logic nào vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh có thể được người ta nghĩ ra.

Trước khi có khám phá này, các nhà toán học đã ấp ủ hi vọng phát triển một cơ sở toán học nhất quán được bao gộp trọn vẹn trong một hệ thống tiên đề.

Khám phá của Gödel đã đặt dấu chấm hết cho một hi vọng như thế.

Như vậy, cái Gödel đã làm với logic học vào năm 1931 chính là cái Heisenberg* đã làm với vật lí học bởi nguyên lí bất định nổi tiếng của ông trước đó bốn năm, vào năm 1927.

145. Hàm ý của khám phá trên là gì?

Hàm ý là sự mất bình yên bởi vì khám phá trên làm suy yếu niềm tin rằng chân lí toán học là chính xác và hoàn hảo.

Đây là vì chân lí toán học có được sức mạnh của nó từ sự tương tác của các tiên đề gọi là các chứng minh, nhưng khi bản thân phương pháp tiên đề, cái trụ cột cho những chứng minh như thế, chịu sự thẩm tra và ngờ vực, thì bức tranh rõ ràng chuyển sang sắc thái kém tin cậy và ảm đạm.

-----

*Nguyên lí bất định của Heisenberg hàm ý rằng tác dụng quan sát trên một hạ sơ cấp làm nhiễu loạn nó theo một kiểu không dự đoán được. Nguyên lí này thiết lập giới hạn cho sức mạnh của phương pháp thực nghiệm.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Extension Thuvienvatly.com cho Chrome

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Kỉ lục mới về gia tốc electron: Từ zero lên 7,8 GeV trên 8 inch
23/10/2019
Để tìm hiểu bản chất của vũ trụ, các nhà khoa học phải chế tạo các máy va chạm hạt làm gia tốc electron và hạt phản
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 56)
22/10/2019
Định luật Bode về khoảng cách hành tinh 1766 Johann Elert Bode (1747–1826), Johann Daniel Titius (1729–1796) Định luật Bode, còn gọi
250 Mốc Son Chói Lọi Trong Lịch Sử Vật Lí (Phần 55)
22/10/2019
Hiệu ứng giọt đen 1761 Torbern Olof Bergman (1735-1784), James Cook (1728-1779) Albert Einstein từng nói rằng điều khó hiểu nhất ở
Tương lai nhân loại - Michio Kaku (Phần 28)
22/10/2019
HAI CÁCH ĐỂ SỐ HOÁ TÂM TRÍ Thực ra có hai phương án tiếp cận riêng biệt để số hóa bộ não con người. Đầu tiên là Dự
Tương lai nhân loại - Michio Kaku (Phần 27)
22/10/2019
MỘT QUAN ĐIỂM KHÁC VỀ SỰ BẤT TỬ Adaline có thể hối hận về món quà bất tử, và có lẽ cô ấy không đơn độc, nhưng
Thời gian là gì? (Phần 2)
21/10/2019
Vậy thì hãy nói đi: Thời gian là gì? Hãy nói một chút về lũ chồn sương. Để nắm rõ hơn cách các nhà vật lí nghĩ về
Vật lí Lượng tử Tốc hành (Phần 86)
16/10/2019
Chất siêu chảy Khi những chất lỏng nhất định, ví dụ helium lỏng, khi được làm lạnh xuống chỉ bằng vài độ trên không
Vật lí Lượng tử Tốc hành (Phần 85)
16/10/2019
Định tuổi bằng phóng xạ Là một ứng dụng tài tình của hiện tượng lượng tử phóng xạ, phép định tuổi bằng phóng xạ

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com