Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử (Phần 15)

137. Vấn đề nhất quán còn phát sinh ở đâu nữa?

Vấn đề nhất quán còn phát sinh hễ khi một mô hình phi hữu hạn được xét đến vì các mục đích lí giải.

Trong trường hợp các mô hình hữu hạn, tính nhất quán của tập hợp có thể được xác định bằng cách khảo biện hoặc liệt kê nhưng trong trường hợp các mô hình phi hữu hạn thì điều này là không thể.

Và đa số các hệ giả thiết cấu thành nền tảng của những ngành toán học quan trọng chỉ có thể được thỏa mãn bởi các mô hình phi hữu hạn.

138. Hilbert có thành công trong việc xác lập tính nhất quán của các giả thiết Euclid hay không?

Hilbert chọn cách lí giải các giả thiết Euclid theo kiểu được thông qua trong hình học tọa độ Descartes để chúng được biến đổi thành những chân lí đại số. Tính nhất quán của các giả thiết Euclid, do đó, được xác lập bằng cách chứng minh rằng chúng được thỏa mãn bởi một mô hình đại số.

Nhưng phương pháp xác lập tính nhất quán như thế này cho thấy nếu đại số là nhất quán, thì hệ thống hình học của Hilbert cũng nhất quán. Vì thế, chứng minh một hệ nào đó nhất quán chỉ là tương đối chứ không phải một chứng minh tuyệt đối.

139. Nên làm gì tiếp theo để tránh những chứng minh tương đối đó?

Để tránh những chứng minh tương đối của tính nhất quán, Hilbert đề xuất một phương pháp được gọi là siêu toán học. Phương pháp này trang bị tốt cho việc nghiên cứu tính nhất quán lẫn tính hoàn chỉnh.

Vì thế, Hilbert và những nhà toán học khác nuôi hi vọng phát triển mỗi ngành toán học bằng phương pháp tiên đề theo kiểu sao cho nó vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Và chương trình tối hậu là phát triển một khuôn khổ thống nhất cho toàn bộ toán học vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Chương trình này được gọi là “Chương trình Hilbert”.

140. Chương trình Hilbert đã thành công đến đâu?

Luận giải siêu toán học đã được triển khai thành công để xác lập tính nhất quán và hoàn thiện của những hệ bao quát hơn. Ví dụ, một chứng minh tuyệt đối của sự nhất quán đã tiến hành cho một hệ số học cho phép cộng các con số, nhưng không cho phép nhân.

Một vài nỗ lực như thế là tìm cách xây dựng một chứng minh cho phép nhân các con số, nhưng thật bất ngờ, toàn bộ những nỗ lực như thế đều thất bại.

Cuối cùng vào năm 1931, nhà toán học người Áo Kurt Gödel đã chứng minh rằng những nỗ lực như thế nhất thiết phải thất bại.

141. Gödel đã chứng minh điều gì?

hay Những hạn chế của phương pháp tiên đề là gì?

Gödel chứng minh rằng phương pháp tiên đề có những hạn chế cố hữu nhất định về tính nhất quán và tính hoàn chỉnh.

Ông chứng minh rằng tính nhất quán không thể được xác lập trong một hệ gồm toàn số học.

Ông còn chứng minh rằng phương pháp tiên đề có một hạn chế cố hữu nữa, đó là không hoàn chỉnh. Cho trước một tập hợp nhất quán bất kì gồm những tiên đề số học, có những mệnh đề số học đúng không thể được suy luận ra từ tập hợp đó.

142. Có ví dụ nào minh họa cho kết luận này không?

Một ví dụ đơn giản, giả thiết Goldbach, minh họa cho điều vừa nói.

Giả thiết phát biểu rằng mọi con số chẵn (ngoại trừ 2, bản thân nó là số nguyên tố rồi) đều có thể được biểu diễn bằng tổng của hai số nguyên tố.

Như vậy,              4 = 2 + 2,              6 = 3 + 3,              8 = 3 + 5

                                10 = 5 + 5,            12 = 5 + 7,            14 = 7 + 7

                                16 = 5 + 11,          18 = 5 + 13,          20 = 7 + 13,

Tương tự,            50 = 19 + 31,       100 = 3 + 97,       200 = 3 + 197,...

Mặc dù người ta chẳng tìm thấy con số chẵn nào không bằng tổng của hai số nguyên tố, nhưng chưa có ai tìm ra cách chứng minh đúng cho mọi con số chẵn.

Giả thiết trên có vẻ là một mệnh đề đúng nhưng không thể được suy luận ra từ các tiên đề của số học.

143. Liệu một tập hợp tiên đề khác không giải quyết được sao?

Có lẽ nên đề xuất cải tiến hoặc mở rộng các tiên đề để cho định lí này và những định lí có liên quan khác có thể được suy luận ra. Nhưng cho dù chúng ta có bổ sung bất kì số lượng hữu hạn nào của các tiên đề số học, thì hệ thống đã mở rộng đó vẫn không đủ để mang lại mọi chân lí số học.

Sẽ luôn luôn có những chân lí số học khác nữa sẽ không được suy luận ra từ tập hợp đã mở rộng đó. Như vậy, phương pháp tiên đề căn bản là không hoàn chỉnh.

Gödel còn chứng minh rằng đối với những hệ thuộc loại quan trọng nhất, tính nhất quán là không tương thích với tính hoàn chỉnh. Những hệ như thế, nếu nhất quán, thì nhất thiết phải không hoàn chỉnh.

Đồng thời, nếu một hệ là hoàn chỉnh (ví dụ, một hệ chỉ cho phép cộng mà không nhân các con số), nó có thể được chứng minh là không nhất quán.

144. Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là gì?

Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là không có hệ thống logic nào vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh có thể được người ta nghĩ ra.

Trước khi có khám phá này, các nhà toán học đã ấp ủ hi vọng phát triển một cơ sở toán học nhất quán được bao gộp trọn vẹn trong một hệ thống tiên đề.

Khám phá của Gödel đã đặt dấu chấm hết cho một hi vọng như thế.

Như vậy, cái Gödel đã làm với logic học vào năm 1931 chính là cái Heisenberg* đã làm với vật lí học bởi nguyên lí bất định nổi tiếng của ông trước đó bốn năm, vào năm 1927.

145. Hàm ý của khám phá trên là gì?

Hàm ý là sự mất bình yên bởi vì khám phá trên làm suy yếu niềm tin rằng chân lí toán học là chính xác và hoàn hảo.

Đây là vì chân lí toán học có được sức mạnh của nó từ sự tương tác của các tiên đề gọi là các chứng minh, nhưng khi bản thân phương pháp tiên đề, cái trụ cột cho những chứng minh như thế, chịu sự thẩm tra và ngờ vực, thì bức tranh rõ ràng chuyển sang sắc thái kém tin cậy và ảm đạm.

-----

*Nguyên lí bất định của Heisenberg hàm ý rằng tác dụng quan sát trên một hạ sơ cấp làm nhiễu loạn nó theo một kiểu không dự đoán được. Nguyên lí này thiết lập giới hạn cho sức mạnh của phương pháp thực nghiệm.

Toán học – Những điều kì thú và những mốc son lịch sử
A.L. Audichya
Trần Nghiêm dịch
<< Phần trước | Phần tiếp theo >>

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Tạo bảng điểm online

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Vật lí Lượng tử Tốc hành (Phần 52)
22/05/2019
Vụ Nổ Lớn Nguồn gốc của lí thuyết Vụ Nổ Lớn (Big Bang) nằm ở thực tế chính không gian đang dãn nở. Nếu Vũ trụ hiện
Vật lí Lượng tử Tốc hành (Phần 51)
22/05/2019
Lí thuyết nhiễu loạn Trong khi các nhà vật lí có thể tính ra nghiệm cho các toán tử Hamiltonian tương ứng với, nói ví dụ,
Tương lai nhân loại - Michio Kaku (Phần 4)
22/05/2019
SỰ TRỖI DẬY CỦA TÊN LỬA V-2 Dưới sự lãnh đạo của von Braun, các công thức trên giấy và bản phác thảo của Tsiolkovsky
Tương lai nhân loại - Michio Kaku (Phần 3)
22/05/2019
PHẦN I: RỜI TRÁI ĐẤT – LEAVING THE EARTH Bất cứ ai ngồi trên đỉnh của hệ thống nạp đầyu nhiên liệu hydro-oxygen lớn nhất
Vật lí Lượng tử Tốc hành (Phần 50)
21/05/2019
Nguyên lí tương ứng Cơ học lượng tử giải quyết vật lí học của cái rất nhỏ và, như chúng ta thấy, hành trạng lượng
Từ trường của vũ trụ vô cùng yếu
20/05/2019
Từ trường của toàn bộ vũ trụ yếu hơn 2,5 tỉ lần so với của một nam châm tủ lạnh, theo một phân tích mới. “Xét theo
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần 4)
20/05/2019
TỪ TÍNH TRONG NÃO Trong thập kỷ qua, nhiều thiết bị công nghệ cao mới đã bước vào bộ công cụ của các nhà thần kinh học,
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần 3)
20/05/2019
MRI: CỬA SỔ NHÌN VÀO TRONG BỘ NÃO Để hiểu lý do tại sao công nghệ mới triệt để này đã giúp giải mã bộ não đang suy

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com