Âm nhạc và các phân số

Ai đánh ghita cũng biết khái niệm hợp âm (dân gian gọi là gam). Chỉ cần 3 gam là đánh đệm cho được rất nhiều bài hát. Bài nào vui, thì dùng hợp âm đô trưởng, fa trưởng, và son 7, bài buồn thì la thứ, rê thứ, mi 7. Nhưng trong các sách âm nhạc ít khi thấy giải thích nguồn gốc toán học của những hợp âm này.

Tại sao đánh 3 nốt Đô (C), Mi (E), Son (G) lên thì nó hòa với nhau rất tốt, thành hợp âm Đô trưởng, nhưng ví dụ đánh Đô và Fa thăng (F#) thì lại không hợp? Đó là do những hòa âm trong âm nhạc liên quan đến các phân số đơn giản.

Nhớ lại, trong 1 octave (quãng tám) có 12 nốt:

C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#, B

Quy định là nốt A (La) của octave giữa tần số là 440 Hz. Giá trị chính xác của con số này không phải quan trọng đối với ta. Quan trọng là trong âm nhạc hiện đại, tần số các nốt trong octave lập thành một cấp số nhân, số sau hơn số trước 21/12≈1.0595 lần. Như vậy tần số các nốt là:

C= 440×2-9/12≈261.6 Hz
C#= 440×2-8/12≈277.2 Hz, v.v.

Ta lấy tần số của nốt Son chia cho tần số nốt Đô thì thương là:

G/C = 27/12=1.4983…≈3/2

đây gọi là quãng 5 (perfect fifth),

và nếu lấy thương của tần số nốt Mi cho nốt Đô thì có:

E/C = 24/12=1.2599…≈5/4 (quãng ba trưởng)

Như vậy tỉ lệ tần số của các nốt trong hợp âm trưởng (C:E:G) là gần bằng 4:5:6. Do tỷ lệ giữa các tần số gần với các phân số đơn giản (tử số và mẫu số nhỏ) nên nghe êm tai. Trái lại tỷ lệ giữa fa thăng (F#) và đô (C) là

\sqrt 2
, là số không gần với một phân số đơn giản nào, nên đánh F# cùng với C không hợp. Bạn đọc có thể tự tìm ra tỷ lệ đằng sau hợp âm la thứ: La – Đô – Mi.

Nhạc truyền thống của Việt Nam và nhiều dân tộc là nhạc ngũ âm (pentatonic, “cung thương làu bậc ngũ âm”), có thể xây dựng bằng một cấp số nhân khác với công bội là 3/2. Các nốt trong cung ngũ âm đại khái gần với

F – C – G – D – A

trong nhạc phương tây (không có E và B). Nếu ta chỉnh các nốt cho có 4 quãng năm lý tưởng thì tỷ lệ các tần số phải là:

1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64

(Mỗi lúc xuống 1 octave tần số giảm đi 2 lần.)

Các bài ngũ âm cũng có thể đánh được hoàn toàn bằng các phím đen trên đàn piano: F#, C#, G#, D#, A#.

Ví dụ bài Xòe hoa là hoàn toàn ngũ âm (dân ca Thái — lời Kinh):

Cùng nhau múa vui, chân em bước nhịp câu ca
C     F    A   G    G   G   A    D    F  F

Em múa vui em mừng cuộc đời.
G   A   G  F   D    C    C

Ơn Bác Hồ ghi nhớ muôn đời.
G   A  D   F   G   F    D

Vui sống trong độc lập tự do
G    A     G    F   D   C  F

Nhạc hiện đại đôi khi cũng dùng ngũ âm. Bài Tiếng hát trong rừng Pắc Bó chỉ loanh quanh 5 nốt đến gần cuối:

Trông vời lưng núi
F      C  F-A   A
Khuổi Nậm rì rào núi cao tầng mây
F      C  D   F   G   F   D    G

Nhạc Scotland truyền thống (Auld Lang Syne chẳng hạn) cũng là ngũ âm.

Vấn đề của thang có 4 quãng năm lý tưởng là giữa A và F tỉ lệ là 81/64, nhưng quãng ba lý tưởng phải là 5/4=80/64. Nếu ta định nghĩa A là 5/4 so với F, thì lại mất quãng năm D-A. Nhạc phương Tây đã bị vấp phải vấn đề này trong một thời gian dài, là quãng ba trưởng (5/4) không chính xác bằng 4 quãng 5 (3/2) trừ 2 quãng 8:

\displaystyle{\frac54} \neq \left(\frac32\right)^4\left(\frac12\right)^2

Ngày xưa người ta chỉnh piano chỉ đánh được một số gam ở giữa, càng ra xa nghe càng chóe. Việc chỉnh piano là một sự thỏa hiệp giữa quãng 5 và quãng 3, không bao giờ cả 2 quãng đều chuẩn cả hai. Đến thời Bach thì người ta chỉnh được cho tất cả các gam đều nghe được. Tập Well-Tempered Clavier soạn cho cả 24 gam trưởng và thứ.

Trong thang nhạc phương tây hiện đại, quãng 5 rất tốt nhưng các quãng 3 thì không tốt lắm.

E♭/C = 23/12=1.189…≈6/5

Quãng 7 thì tệ:

B♭/C = 210/12=1.782≈7/4

Christiaan Huygens đề xuất dùng âm nhạc với thang có 31 nốt trong một octave. Lúc đó quãng 5 sẽ là

218/31=1.4955≈3/2

hơi kém hơn thang 12 nốt, nhưng các quãng 3 trưởng và thứ thì tốt hơn hẳn:

210/31=1.2506≈5/4

28/31=1.1959≈6/5

Quãng 7 cũng hơn hẳn:

225/31=1.7489≈7/4.

Tuy vậy thang nhạc 31 nốt này hoàn toàn không được phổ biến, có lẽ do số nốt nhiều quá.

Bạn nào muốn biết hơn có thể tham khảo D. J. Benson, Music: a mathematical offering.

Từ Blog của Giáo Sư Đàm Thanh Sơn

http://damtson.wordpress.com/

Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.

Nếu thấy thích, hãy Đăng kí để nhận bài viết mới qua email
Tin tức vật lý
Extension Thuvienvatly.com cho Chrome

Thêm ý kiến của bạn

Security code
Refresh

Các bài khác


Ai đã phát minh ra ABC?
16/02/2020
Lâu nay người ta vẫn cho rằng các thư lại Ai Cập đã sáng chế ra bảng chữ cái đầu tiên. Tuy nhiên, đó chưa phải là toàn bộ
Toán học cấp tốc (Phần 10)
15/02/2020
e e là một số siêu việt và là một trong những hằng số cơ bản của toán học. Được gọi là hằng số Euler, nó có giá trị
Toán học cấp tốc (Phần 9)
15/02/2020
Số đại số và số siêu việt Một số đại số là nghiệm của một phương trình chứa lũy thừa của biến x, một đa thức
Vật lí học và chiến tranh - Từ mũi tên đồng đến bom nguyên tử (Phần 62)
15/02/2020
Chương 18 BOM KHINH KHÍ, TÊN LỬA LIÊN LỤC ĐỊA, LASER VÀ TƯƠNG LAI Sau sự phát triển bom nguyên tử, bản chất của chiến tranh
Vật lí học và chiến tranh - Từ mũi tên đồng đến bom nguyên tử (Phần 61)
15/02/2020
TIẾP TỤC DỰ ÁN MANHATTAN Nghiên cứu Dự án Manhattan đã khởi động. Vấn đề chính là tách U-235 ra khỏi uranium thiên nhiên.
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần 42)
15/02/2020
NÓ THỰC SỰ LÀ MỘT BỘ NÃO? Mặc dù các nhà khoa học này tuyên bố rằng mô phỏng máy tính của họ về não sẽ bắt đầu
Tương lai của tâm trí - Michio Kaku (Phần 41)
15/02/2020
XÂY DỰNG MỘT BỘ NÃO Giống như nhiều đứa trẻ khác, tôi đã từng thích tháo rời đồng hồ, tháo rời chúng, vặn hết ốc
Bảng tuần hoàn hóa học tốc hành (Phần 88)
14/02/2020
Neptunium Vào năm 1940, các nhà vật lí Mĩ Edwin McMillan (1907–91) và Philip Abelson (1913–2004) đã tạo ra nguyên tố đầu tiên nặng

Chúng tôi hiện có hơn 60 nghìn tài liệu để bạn tìm

360 độ

Vật lý 360 độ là trang tin nhanh, trao đổi chuyên đề vật lý và các khoa học khác cũng như các nội dung liên quan đến dạy và học.
Hi vọng các bạn giúp chúng tôi bằng cách đăng kí làm CTV.
Liên hệ: banquantri@thuvienvatly.com